Доказательство. Докажем первое утверждение по следующему плану

Докажем первое утверждение по следующему плану.

· Будем смотреть на формулу Эйлера для скоростей точек плоской фигуры как на уравнение, задающее неявно вектор-функцию в зависимости от значения скорости .

· Решив это уравнение относительно , найдем тем самым положения всех тех точек, которые имеют одинаковые скорости.

· Положив , установим все точки, имеющие нулевую скорость.

Переходим к реализации этого плана.

Согласно формуле Эйлера, указанное уравнение имеет вид

.

Перенесем в левую часть равенства и умножим его обе части векторно на орт слева. Получим

.

Поскольку , то отсюда находим

.

Согласно условию теоремы имеем . Поэтому при любом справедливо равенство

. (3.14.15)

Из (3.14.15) заключаем, что если , то между положением точки плоской фигуры и ее скоростью выполняется взаимно однозначное соответствие.

Положим в (3.14.15) . Этим самым найдем положение той единственной точки плоской фигуры, которая имеет скорость в момент времени . Оно будет определяться по формуле:

. (3.14.16)

Первое утверждение теоремы 1 доказано.

Докажем второе утверждение.

Справедливость утверждения 2) будет установлена, если покажем, что скорость любой точки плоской фигуры может быть определена по формуле

,

где — радиус-вектор точки относительно точки .

Легко видеть, если в формуле Эйлера в качестве точки взять точку , то эта формула примет вид

,

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-11