Свойства решений уравнений Пуассона

Обратимся снова к системе уравнений Пуассона (4.5.3).

(4.5.3)

Записанная в матричной форме, она имеет вид (4.5.5)

. (4.5.5)

В (4.5.5) матрица коэффициентов, взятых со знаком «минус», задается формулой (4.5.4):

, (4.5.4)

а — вектор-столбец,

.

Отметим следующие свойства решений уравнения (4.5.5).

1. Уравнение (4.5.5) имеет первый интеграл .

Утверждение легко проверяется непосредственным дифференцированием функции , вычисленной на решениях уравнения (4.5.5).

Данный интеграл выражает собой условие того, что длина вектора не меняется на решениях уравнения (4.5.5).

Нас будут интересовать только такие решения, на которых , т.е. .

2. Если и — два частных решения уравнения (4.5.5), то вектор

(4.5.8)

также является его решением.

Здесь под , , понимаем вектор

, (4.5.9)

координаты которого в связанной системе совпадают с элементами соответствующего вектора-столбца

.

Действительно, каждое из трех уравнений в системе (4.5.6)

(4.5.6)

после замены в них элементов векторов

, ,

на координаты векторов и после подстановки в (4.5.6) матрицы

, (4.5.4)

в обозначениях (4.5.9) примет вид

. (4.5.10)

В (4.5.9) верхний индекс обозначает фиксированную вектор-функцию , построенную по вектору-столбцу , который является решением уравнения (4.5.5)

. (4.5.5)

Уравнения (4.5.5) и (4.5.10) эквивалентны друг другу. Если записать их в координатной форме, то с точностью до обозначений они будут совпадать. Их решения связаны формулой (4.5.9).

Тогда, если , — решения уравнения (4.5.10), то можно записать

. (4.5.11)

Покажем, что

(4.5.12)

также является решением уравнения (4.5.10)

. (4.5.10)

Дифференцируя (4.5.12), получим

.

Заменим , , правыми частями равенств (4.5.11)

.

Раскрываем правую часть по формуле двойного векторного произведения:

Сравнивая с (4.5.10), куда следует подставить

,

видим, что — решение уравнения (4.5.10).

3. Если и — два частных решения уравнения (4.5.5), то при любых справедливо равенство

.

Здесь и — векторы, построенные через решения и по формуле (4.5.9)

. (4.5.9)

В справедливости свойства легко убедиться, если продифференцировать скалярное произведение и учесть соотношения (4.5.11):

. (4.5.11)

3.3. Алгоритм построения решения
задачи Дарбу

Из доказанных свойств 1,2,3 вытекает следующий алгоритм построения решения задачи Дарбу.

Для построения матрицы ориентации твердого тела достаточно получить два взаимно ортогональных решения и уравнения (4.5.10):

, (4.5.10)

или уравнения (4.5.5):

, (4.5.5)

удовлетворяющих условиям

.

Действительно, построим решение уравнения (4.5.5) с начальными условиями, совпадающими в момент времени с направляющими косинусами вектора абсолютной системы координат относительно связанных осей.

Очевидно, такое решение будет определять положение вектора в связанной системе в любой момент времени .

Другими словами, компоненты решения будут являться элементами первой строки матрицы в любой момент времени .

Затем возьмем в качестве начальных условий в момент направляющие косинусы вектора абсолютной системы координат в связанной системе.

По ним построим решение уравнения (4.5.5).

Компоненты этого решения будут давать положение вектора в связанной системе в любой момент времени и совпадать с элементами второй строки матрицы .

В силу свойства 2 решений уравнения (4.5.5) вектор , определяемый по векторам и согласно формуле

, (4.5.13)

является ее решением.

Иначе говоря, компоненты вектора при любых будут совпадать с элементами третьей строки матрицы ориентации .

В (4.5.13) векторы и строятся через решения и уравнения (4.5.5) по формуле (4.5.9).

В итоге, после проведения описанных действий, получаем решение матричного уравнения Пуассона (4.5.7)

(4.5.7)

в виде матрицы :

.

Здесь и — решения уравнения (4.5.5) с указанными выше начальными условиями.

Если компоненты столбца обозначим , , а столбца — , , то элементы третьего столбца матрицы (их обозначим , ) связаны с ними следующими соотношениями:

, ,

.

Если начальные условия в задаче Дарбу задаются через значения углов ориентации, то для построения решения по описанному алгоритму необходимо:

· предварительно вычислить матрицу ориентации в заданный момент времени по формулам связи элементов этой матрицы с углами ориентации, подставив в них заданные начальные значения углов;

· использовать вычисленные элементы первой и второй строки матрицы ориентации в качестве начальных условий для построения решений и .

Дата добавления: 2014-01-11