Выпуклые множества

Пусть х, у, z – элементы n -мерного действительного евклидова пространства Будем называть их также векторами или точками пространства

Определение. Отрезком, соединяющим точки x и y, называется множество точек вида

Определение. Множество точек называется выпуклым множеством, если отрезок, соединяющий любые две точки входит в множество M, то есть

Например, выпуклыми множествами являются точка, отрезок, пространство открытый и замкнутый параллелепипед, открытый и замкнутый шар. Пустое множество не является выпуклым.

Теорема. Непустое пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Доказательство. Пусть - выпуклые множества, и точки x, y принадлежат всем этим множествам одновременно поэтому Точка по определению выпуклого множества принадлежит всем множествам одновременно. Таким образом, для любых двух точек точки принадлежат множеству M. Поэтому по определению М – выпуклое множество.

Определение. Гиперплоскостью в называется множество точек

где a – n -мерный направляющий вектор, круглые скобки обозначают скалярное произведение действительное число с называется свободным членом.

Замечания. 1) Гиперплоскость является выпуклым множеством. Действительно, пусть Тогда для любого точка принадлежит G, так как

2) Направляющий вектор a ортогонален гиперплоскости, то есть для любого вектора z = x – y, соединяющего две произвольные несовпадающие точки гиперплоскости (a, z) = 0. Действительно,

(a, z) = (a, x) – (a, y) = c – c = 0.

Определение. Множество точек вида

называется полупространством в

Направление неравенства в определении можно взять и противоположным.

Замечание. Полупространство является выпуклым множеством. Действительно, пусть Тогда для любого точка принадлежит S, так как

Определение. Непустое пересечение конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником.

Применение термина выпуклый многогранник объясняется тем, что полупространство – выпуклое множество, а непустое пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Определение. Множество вида

называется положительным ортантом.

Положительный ортант есть выпуклый многогранник. Действительно, неравенство можно интерпретировать как систему неравенств

где …,

Определение. Пусть выпуклый многогранник G задан системой неравенств

где - направляющие векторы, k > n. Если точка обращает в равенства не менее n неравенств, причем ранг соответствующей системы векторов равен n, то точка у называется угловой (или крайней) точкой многогранника.

Отметим, что число угловых точек выпуклого многогранника может быть (в зависимости от n и k) очень большим. Так, при n = 10, k = 20 это число может быть сравнимо с 10¹¹.

Замечание. Так как равенство вида

можно заменить системой двух неравенств

то если в определении часть неравенств (или все неравенства) заменить соответствующими равенствами, то получающаяся система условий также определяет выпуклый многогранник.

Напомним определение часто используемого выпуклого множества.

Определение. ε – окрестностью точки называется открытый шар

Очевидно, ε – окрестность точки есть выпуклое множество.

Определение. Точка x называется граничной точкой множества , если ε -окрестность содержит точки, принадлежащие множеству X и точки, не принадлежащие множеству X.

Определение. Точка x называется внутренней точкой множества , если найдется , что ε -окрестность целиком лежит внутри множества X.

Замечание. Граничная точка может и не принадлежать множеству X. Например, для множества

граничная точка х = 0 принадлежит Х, а граничная точка х = 1 не принадлежит Х.

Определение. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Определение. Множество Х называется открытым, если оно не содержит свои граничные точки.

Примером замкнутого множества в является замкнутый шар радиуса r с центром в точке a. Примером открытого множества в является открытый шар

Определение. Диаметром множества Х называется число В случае замкнутого множества символ sup можно заменить на символ max.

Определение. Множество Х называется ограниченным, если его диаметр является конечным числом.

Определение. Конусом называется такое множество, что из следует, что .

Замечание. Из определения следует, что конус содержит нулевую точку х = 0. Конус является неограниченным множеством (за исключением вырожденного случая, когда конус содержит всего лишь одну точку х = 0). Конус может быть как замкнутым, так и незамкнутым множеством.

Определение. Компактом называется замкнутое ограниченное множество.

Замечание. Замкнутые ограниченные множества представляют особый интерес в связи с теоремой Вейерштрасса, которая утверждает, что непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве (компакте) достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Дата добавления: 2014-01-11