Тема 3. Дифракция рентгеновских лучей

Лекция 3.8. Атомный и структурный факторы рассеяния рентге­новских лучей на кристаллах.

Структурный фактор

До сих пор мы говорили об интенсивности интерференцион­ных максимумов, получающихся в результате рассеяния рентгеновских лучей кристаллом с простой трансляционной решеткой, т. е. с такой решеткой, все атомы кото­рой расположены только в вершинах элементарных параллелепипедов. Меж­ду тем в этих случаях для анализа структуры и не нужно измерять интенсивностей, достаточно провести только геометрические промеры, т. е. определить расстояние между интер­ференционными максимумами на рент­генограммах, полученных соответствую­щими методами.

Определение интенсивности макси­мумов очень важно при анализе кри­сталлов, имеющих решетку с базисом; сопоставляя интенсивности отражений разного порядка от разных атомных плоскостей, можно судить о расположении ато­мов сложной решетки внутри элементарной ячейки.

Разберем вначале простой частный пример и посмотрим, чем отличается интерференционная картина, получающаяся при рас­сеянии лучей атомами кристалла с пространственно-центрированной кубической решеткой от того, что дает простая кубическая решетка с той же постоянной а.

Пусть на кристалл падает пучок лучей, образующий с плос­костью (100) угол θ удовлетворяющий боэгговскому условию:

Тогда лучи, отраженные плоскостями I и III (рис. 138), будут совпадать по фазе, в результате интерференции амплитуды их сложатся.

Однако для пространственно-центрированной решетки такой анализ явления рассеяния лучей недостаточен. Необходимо при­нять во внимание, что между плоскостями I и III также имеются атомы (центры кубов). Через эти атомы можно провести плос­кость, параллельную плоскостям I и III и делящую пополам рас­стояние между ними. Плоскость эта будет столь же густо уса­жена атомами и будет отражать рентгеновы лучи; без доказа­тельства видно, что отраженные ею лучи будут по фазе противо­положны лучам, отраженным от плоскостей I и III. Любая пара плоскостей (100) в пространственно-центрированной ре­шетке разделена такой промежуточной плоскостью, причем про­межуточных плоскостей столько же, сколько и основных. Оче­видно, лучи, отраженные от промежуточных плоскостей, пол­ностью погасят лучи, идущие от основных плоскостей: кристалл с пространственно-центрированной решеткой не даст вовсе отра­жения первого порядка от плоскости (100) (а также и от экви­валентных ей плоскостей (010) и т. д.). Отражение второго порядка от той же плоскости получится при условии, если раз­ность хода лучей, отраженных от плоскостей I и III, равна 2λ тогда разность хода для плоскостей I и II будет равна λ, лучи совпадут по фазе, амплитуды их сложатся и интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, будет в четыре раза больше интенсивности отражения того же порядка от той же плоскости кристалла, построенного из тех же самых атомов и имеющего кубическую решетку с той же постоянной а, но про­стую, а не пространственно-центрированную.

Множитель, который показывает, во сколько раз амплитуда колебаний в поле лучей, отраженных от какой-либо атомной плоскости кристалла со сложной решеткой, больше амплитуды при отражении лучей от той же плоскости кристалла с простой решеткой, называется структурной амплитудой. Этот множитель обозначают через ISI. Величина, равная квадрату структурной амплитуды, называется структурным фактором, или структурным множителем. Интенсивность интерференционных максимумов пропорциональна структурному фактору.

Структурная амплитуда при отражении первого порядка от плоскости (100) пространственно-центрированной решетки — ISI₍₁₀₀₎=0, при отражении второго порядка от той же плоскости ISI₍₂₀₀₎=2. Структурный фактор соответственно будет ра­вен 0 и 4.

Если промежуточная плоскость в решетке с базисом была бы смещена относительно ближайшей к ней основной плоскости не на половину, а на четверть нормального межплоскостного расстояния, то, как видно на рис. 139, гасилось бы отражение второго порядка, а всего сильнее было бы отражение четвертого порядка, причем интенсивности первого и третьего порядков были бы отличные от нуля, но меньшие, чем интенсивность отражения четвертого порядка.

Конечно, для более сложных решеток будет сложнее и выра­жение структурного фактора. Однако, зная из каких атомов построен кристалл и каков его базис, можно по формуле, кото­рую мы сейчас выведем, вычислить структурный фактор для отражения любого порядка от любой его атомной плоскости.

Значительно труднее решить обратную задачу: измерив экспери­ментально интенсивность интерфе­ренционных максимумов, исклю­чить остальные влияющие на интен­сивность факторы, опре­делить экспериментальные значе­ния структурного множителя и за­тем подобрать такое расположение атомов внутри элементарной ячей­ки, которое удовлетворяло бы этим значениям. А ведь в этом-то и за­ключается, в конечном счете, основ­ная задача структурного анализа.

Выше мы говорили, что ре­шетку с базисом можно представить себе как совокупность стольких вставленных друг в друга простых решеток, сколько атомов содержится в каждой элемен­тарной ячейке кристалла (пространственно-центрированная решетка состоит из двух, а гранецентрированная — из четырех таких «простых» решеток).

Если пучок монохроматических лучей так падает на кристалл, что для системы плоскостей (h* k* l*) одной из простых реше­ток удовлетворяется правило Брэгга и лучи, отраженные от всех плоскостей (h* k* l*) этой решетки, совпадают по фазе, то, очевидно, будут совпадать между собой по фазе и лучи, отра­женные от плоскостей (h* k* l*) любой из остальных простых решеток. Однако, лучи, отраженные плоскостями (h* k* l*) и раз­ных простых решеток, могут иметь разные фазы. Чтобы вычис­лить структурный фактор, нужно, прежде всего, найти разности фаз для лучей, рассеянных атомами отдельных простых реше­ток, образующих данную сложную решетку.

Вычислим разность фаз для лучей, отраженных от атомных плоскостей (h* k* l*), одна из которых проходит через начало координат О, а другая через атом, расположенный внутри эле­ментарной ячейки и имеющий координаты m, р и q (рис. 140).

Если расстояние между этими плоскостями равно d'_hkl, то, очевидно, разность хода Δl выразится так:

(7)

(θ—угол скольжения луча). Разность же фаз определяется по формуле;

(8)

где λ—длина волны лучей.

Если угол θ удовлетворяет брэгговскому условию для каждой из простых решеток, то

(9)

(d_hkl — межплоскостное расстояние для плоскостей (h* k*l*), принадлежащих одной и той же простой решетке; n — порядок отражения).

Подставляя это значение λ в выражение (8), получаем:

(10)

Вычислим отношение d'_h*k*l* / d'_h*k*l* для простейшего случая — для

кристалла кубической системы.

Как известно, межплоскостное расстояние d_hkl опреде­ляется в этом случае по формуле:

(11а)

Расстояние же d'_h*k*l* равно проекции расстояния L атома (m, n, р) от начала координат на направление нормали к отра­жающей плоскости d_h*k*l*

(11б)

Далее:

(11в)

и, наконец,

Очевидно, что

Формула (10), если принять во внимание формулы (11а, б, в и е), будет иметь такой вид:

так как в уравнениях Лауэ h= nh*, k = nk*. 1=nl*.

Хотя мы вывели эту формулу для кристаллов кубической с истемы, однако можно доказать, что она справедлива и для (юбой кристаллической решетки.

Для нахождения равнодействующей амплитуды при сложе­нии t колебаний нужно сложить геометрически t векторов, изо­бражающих их амплитуды и образующих между собой углы равные их разностям фаз. Очевидно, если простые решетки построены из разных атомов, то амплитуды лучей, рассеянных этими решетками, будут пропорциональны порядковым номерам Z соответствующих элементов. Принимая коэффициент пропорци­ональности равным единице, мы можем выразить геометри­ческую сумму S таких векторов в комплексной форме:

(13)

Дата добавления: 2014-01-11