Алгоритм симплекс-метода

Резюмируя изложенное в предыдущих разделах, опишем алгоритм симплекс-метода. По модели в каноническом виде определяется начальное базисное решение. Последующие действия проводятся в специальных таблицах, называемых симплекс-таблицами. В них представляются результаты итераций, которые завершаются при выполнении признака оптимальности или обнаружении неразрешимости задачи.

Полная симплекс-таблица имеет следующую структуру.

Таблица l	C0	C 1	C 2	…	Cr	…	C	q
i	Csi	базис Asi	B=A0	A 1	A 2	…	Ar	…	A
	Cs 1	As 1	a 1 0 =xS 1	a 11	a 12	…	a 1 r	…	a 1
	Cs 2	As 2	a 2 0 =xS 2	a 21	a 22	…	a 2 r	…	a 2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
k	Csk	Ask	ak0=xSk	ak 1	ak 2	…	akr	…	ak	q0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	Csm	Asm	am0=xSm	am 1	am 2	…	amr	…	am
m +1	-am+ 1 ,j	L	Δ 1	Δ 2	…	Δr	…	Δ
m+2	zj	z0	z 1	z 2	…	zr	…	z

Здесь C_j – коэффициенты линейной формы L, C_si – коэффициенты в L при базисных переменных (подмножество C_j), A_si – базисные векторы, si – индекс базисного компонента на позиции i. Жирной линией выделена главная часть таблицы, все ее элементы подчиняются соотношениям (4.22). Первая и последняя строки и второй столбец таблицы являются вспомогательными, они обязательны только в начальной таблице.

Примечание. В линейной алгебре во второй строке и третьем столбце таблицы используют обозначения переменных x_j и x_i вместо векторов A_j и A_si соответственно. Поскольку элементы главной части таблицы являются коэффициентами разложения векторов, принятые здесь обозначения, на наш взгляд, более корректны.

Алгоритм состоит из предварительного и основного этапов.

На предварительном этапе сначала определяется начальное базисное решение одним из методов, рассмотренных выше. Исходя из него заполняется начальная симплекс-таблица. В третий столбец заносятся m базисных векторов, а во второй – соответствующие коэффициеты из L (или из верхней строки) в порядке следования условий в модели (на первую позицию ставится вектор при базисной переменной из первого условия и т.д.).

Так как начальный базис единичный, элементы главной части таблицы кроме последней строки не вычисляются, а берутся прямо из модели (в столбец A₀ заносятся правые части условий, в A_j – коэффициеты при ).

Для получения относительных оценок используются формулы (11) и (12). Значения z_j находятся как скалярное произведение векторов C_b =[ C_si ] и A_j (суммируются произведения одноименных компонент). Вычитая из нижней строки верхнюю, получаем L и оценки Δ _j.

Основной этап является итерационным.

Очередная итерация заканчивается заполнением симплекс-таблицы за исключением столбца q. Пусть завершилась l- я итерация. Цикл начинается с анализа оценок Δ_j в таблице l. Если нет отрицательных оценок, значит, выполнился признак оптимальности. В этом случае возможны два вывода:

1) если не вводились искусственные переменные или они равны нулю, получено оптимальное решение;

2) если хотя бы одна искусственная переменная не равна нулю, задача неразрешима из-за противоречивости условий.

При невыполнении признака оптимальности анализируются столбцы с отрицательными оценками. Если среди них обнаружится столбец, в котором все коэффициенты разложения неположительны, то есть a_ij £0, " i, то задача неразрешима по причине неограниченности критерия на допустимом множестве. В противном случае выбирается минимальная (отрицательная) оценка

Она определяет столбец A_r, называемый направляющим или разрешающим, или ведущим столбцом. Мы будем придерживаться первого термина.

Заполняется столбец q. Значения q вычисляются делением элементов столбца A₀ на положительные элементы направляющего столбца

По минимальному значению q определяется направляющая строка k:

На пересечении направляющейстроки и направляющего столбца находится направляющий элемент a_kr. Тем самым определена переменная которая становися базисной, и переменная выводимая из числа базисных (она становится равной нулю).

Заполняется таблица l+1. В ней отражается смена базиса: вектор A_sk заменяется вектором A_r, соответственно вместо C_sk ставится C_r, остальные базисные элементы остаются на месте. Элементы главной части таблицы вычисляются согласно (4.22):

Эти формулы применяются следующим образом. Элементы строки, которая была направляющей, находятся делением строки на направляющий элемент. Для вычисления остальных элементов можно использовать правило прямоугольника: в таблице l элемент a_ij проектируется на направляющий столбец и направляющую строку (рис.7). В вершинах образовавшегося прямоугольника находятся все элементы, входящие в рекуррентную формулу. Теперь, вычитая из проектируемого элемента произведение элементов в двух других противолежащих вершинах прямоугольника, деленное на направляющий элемент, получаем новое значение элемента. При этом так вычисляются элементы только небазисных столбцов, так как в базисных столбцах всегда имеем единичные векторы.

После заполнения главной части таблицы возвращаемся на начало основного этапа.

Для контроля вычислений можно проводить повторный счет оценок, используя вспомогательные строки z и C.

Наглядное представление алгоритма дает блок-схема, приведенная на рис.8.

Замечание. При выборе направляющего столбца и направляющей строки может иметь место неоднозначность из-за достижения минимума более чем на одном индексе. При этом можно выбирать любой из них либо для однозначного выбора добавить правило, например, при нескольких индексах брать наименьший.

Из неоднозначности выбора строки следует, что новое базисное решение будет вырожденным. При степени вырожденности больше единицы теоретически возможно зацикливание. Для его устранения в теории предложена e-задача, соответствующая малому деформированию вектора ограничений, которое приводит к замене вырожденной вершины невыржденными. Из решения этой задачи выведено более сложное правило выбора направляющей строки:

В строках с минимальным q находятся отношения q ¹ элементов 1-го столбца к элементам направляющего и выбирается строка с минимальным q ¹. Если же этот выбор снова неоднозначен, то вычисляются отношения q ¹¹ элементов 2-го и направляющего столбца в строках с минимальным q ¹, и т.д. до достижения однозначного выбора. Это правило гарантирует от зацикливания. Однако на реальных задачах сталкиваться с зацикливанием не приходилось, и поэтому изложенное правило представляет больше теоретический интерес.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко подводятся итоги занятия, при этом обращается внимание студентов на цели и содержание дисциплины.

Дать задание на самостоятельную работу (отводимое время 2 часа):

ó с целью более глубокого освоения материала повторить и более подробно изучить линейную оптимизацию. Литература: [1] с. 300…311, конспект лекций,

При необходимости ответить на возникшие вопросы.

Старший преподаватель кафедры АС и ПО И.Денисова

Дата добавления: 2014-01-11