Тема: “ Сведение задач теории игр

Лекция 14

к задачам линейного программирования”

Обозначим . Из определения нижней цены игры следует, что - наибольшее из тех чисел , для которых есть хотя бы один допустимый набор , удовлетворяющий неравенствам

Будем считать, что все элементы платежной матрицы неотрицательны (для этого их достаточно увеличить на одно и то же положительное число, оптимальные стратегии при этом не изменятся). Поделим все неравенства системы на и обозначим . Тогда, с учетом соотношения , получаем . Таким образом, задача по определению смешанных стратегий первого игрока сводится к следующей задаче линейного программирования.

,

.

Если есть решение задачи, то цена игры равна , а оптимальная стратегия игрока определяется из соотношений .

Несколько более удобно решать задачу по определению верхней цены игры и максиминной стратегии второго игрока. По определению нижней цены получаем, что есть наименьшее значение из тех , для которых выполняются неравенства

хотя бы для одного допустимого набора . Обозначая , получаем следующую задачу линейного программирования

,

.

Если решение задачи, то

, .

Задачи по определению максиминной стратегии перового игрока и минимаксной стратегии второго игрока являются двойственными по отношению друг к другу, поэтому, решив одну из задач, из соответствующей симплекс таблицы мы можем одновременно определить решение второй задачи.

Схема решения матричной игры с помощью симплексного метода:

1. Составляют пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных данной матричной игре.

2. Определяют оптимальные планы пары двойственных задач, используя симплексный метод.

3. Используя соотношение между планами пары двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение матричной игры.

Пример 1. Рассматривается антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой и платежной матрицей (первый игрок - получатель платежа, - выбирает строку платежной матрицы, второй - плательщик, - выбирает столбец). Требуется свести нахождение смешанных стратегий второго игрока к задаче линейного программирования и найти цену игры.

Решение: Сведем задачу нахождения оптимальной стратегии второго игрока к задаче линейного программирования. Получаем:

,

, .

Приведем задачу к канонической форме

Запишем условия задачи в виде симплекс-таблицы

Базис
	-1	-1	-1	-1

Базис

Базис

Найдено следующее решение задачи линейного программирования:

, , , .

Переходя к вероятностям, получим

, , .

Одновременно мы нашли решение двойственной задачи: оптимальные значения двойственных переменных , содержатся в -строке в столбцах, отвечающих вспомогательным переменным и соответственно. Таким образом, , , .

Окончательно, , . Ответы совпали с ответами, полученными графическим способом.

Дата добавления: 2014-01-11