Графический способ решения игры и

Рассмотрим сначала случай . Тогда у первого игрока имеется всего две стратегии, и его смешанная стратегия имеет вид , . В этой ситуации для нижней цены игры имеем соотношение:

Построив графики функций , ,¼, , следует для каждого найти наименьшее из значений , , ¼,. Обозначим это наименьшее значение . После этого следует найти такое , при котором максимально.

0 1

Чтобы найти смешанную стратегию второго игрока, следует определить значения индексов , для которых достигается максимин, то есть . Пусть это индексы , , ¼, (обычно ). После этого остается решить систему

Аналогично, если , то смешанные стратегии второго игрока имеют вид ,и верхняя цена игры определяется из соотношения

Нужно построить графики функций , ,¼, на отрезке ; определить

для каждого ; после чего найти , для которого

0 1

Пример 1. Рассматривается антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой и платежной матрицей . Требуется: 1) определить верхнюю и нижнюю цену игры в чистых стратегиях; 2) найти цену игры и оптимальные смешанные стратегии игроков.

Решение. Найдем сначала верхнюю и нижнюю цену игры в чистых стратегиях. Для нахождения верхней цены (привилегирован первый игрок) подчеркнем максимум в каждом из столбцов платежной матрицы, а затем выберем наименьшее значение из этих максимумов.

Следовательно, , а минимаксной стратегией второго игрока является либо первая, либо третья. Для нахождения нижней цены игры подчеркнем наименьшее значение из чисел платежной матрицы в каждой строке и выберем наибольшее из этих минимумов.

Следовательно, , а максиминной стратегией первого игрока является любая из двух, первая или вторая. Поскольку , цены игры и решения в чистых стратегиях нет. Решением игры являются смешанные оптимальные стратегии, а цена игры заключена в пределах .

У первого игрока имеется всего две стратегии, и его смешанная стратегия имеет вид , . Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры графическим способом. Для этого нам надо построить графики четырех функций

,

,

,

,

на отрезке , определить

,

а затем найти

.

(4) 16

9 (3) 9

7 (1) 7

(2)

2 2

0 1

Из рисунка видно, что точка максимина соответствует пересечению графиков второй и третьей функции, то есть

,

откуда

Û ,

.

Для определения смешанной стратегии второго игрока следует решить систему уравнений

,

откуда

, .

Таким образом, оптимальные стратегии игроков определены однозначно - это стратегия для первого игрока, и стратегия для второго. Цена игры в смешанных стратегиях равна .

Пример 2. Рассматривается антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой и платежной матрицей .

Требуется:

1) определить верхнюю и нижнюю цену игры в чистых стратегиях;

2) найти цену игры и оптимальные смешанные стратегии игроков.

Решение. Найдем верхнюю цену игры в чистых стратегиях

.

Найдем нижнюю цену игры в чистых стратегиях

.

Поскольку, цены игры и решения в чистых стратегиях нет.

У второго игрока имеется всего две стратегии, и его смешанная стратегия имеет вид , . Найдем оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры графическим способом.

Используем тот факт, что цена игры, во–первых, равна верхней цене игры в смешанных стратегиях, а, во–вторых, первый игрок может использовать при этом чистые стратегии.

Нам надо построить графики четырех функций, равных величине математического ожидания платы при использовании первым игроком своей первой, второй, третьей и четвертой стратегий, соответственно. Имеем:

,

,

,

,

Остается для каждого определить

,

а затем найти .

(1) 4

3 (2) 3

(3)

2 2

1 (4) 1

0 1

Из рисунка видно, что точка минимакса соответствует пересечению графиков первой, второй и третьей функции, то есть

,

откуда , .

Для определения смешанной стратегии первого игрока следует решить вырожденную систему уравнений

(поскольку в вершине, отвечающей верхней цене игры, пересекаются три прямые, отвечающие первой, второй и третьей стратегиям первого игрока), откуда

, , , .

Таким образом, оптимальные стратегии игроков определены неоднозначно - это стратегия для второго игрока, и стратегия для первого. Цена игры в смешанных стратегиях равна .

Основные этапы нахождения решения игры графическим методом:

1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2. Определяют нижнюю (верхнюю) границу выигрыша.

3. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.

4. Определяют цену игры и оптимальные стратегии.

Дата добавления: 2014-01-11