Лекция 13. Тема: “ Графический способ решения игры ”

Тема: “ Графический способ решения игры ”

Чистая стратегия (частный случай смешанной стратегии) ‑ это стратегия, в которой для некоторого номера , а для всех остальных .

При использовании игроками смешанных стратегий мы также можем определить верхнюю и нижнюю цены игры:

,

.

Теорема 1 (о минимаксе). Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. имеет место равенство

.

Следовательно, решением игры является нахождение максиминной и минимаксной (оптимальных) смешанных стратегий игроков и определение цены игры.

Нахождение минимаксной и максиминной стратегий основано на следующем факте: если какой–либо игрок привилегирован (то есть до момента принятия решения он уже знает смешанную стратегию противника), то он может использовать свою чистую стратегию (использование смешанной стратегии привилегированным игроком не улучшает для него значение платы ).

Следовательно,

,

.

Имеется два важных следствия из этого утверждения. Первое следствие относится к случаю, когда у одного из игроков имеется всего две стратегии, и позволяет найти оптимальные смешанные стратегии графически. Второе следствие заключается в возможности свести игровую задачу к задаче линейного программирования.

Если теорема 1 дает ответ на вопрос о существовании решения игры, то следующая теорема дает ответ на вопрос, как найти это решение для игр, в которых у одного из игроков имеется всего 2 стратегии.

Теорема 2. Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры вне зависимости от того, с какими вероятностями будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную (в том числе и чистые стратегии).

Дата добавления: 2014-01-11