Лекция № 4

Содержание:

1. Уравнение Шредингера.

2. Применение уравнения Шредингера.

3. Фазовая и групповая скорости.

4. Понятие о квантовой статистике.

1. Уравнение Шредингера.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Уравнение Шредингера имеет вид:

(1)

Где: ћ = h /(2p),

т— масса частицы,

D—оператор Лапласа,

i — мнимая единица,

U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в поле, в котором она движется,

Y (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной производные должны быть непрерывны;

2) функция |Y|2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид , или в комплексной записи .

Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид:

(2)

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ).

В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Y|2, то это несущественно.

Тогда:

Откуда:

(3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (E=p2/(2m)) и подставляя выражения (3), получим дифференциальное уравнение:

которое совпадает с уравнением (1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий.

Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая p2/(2m)=E–U), прядем к дифференциальному уравнению.

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(4)

Где: Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (4) в (1), получим:

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию y:

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

2. Применение уравнения Шредингера.

Рассмотрим движение свободной частицы вдоль оси X. В этом случае потенциальное поле отсутствует: 11(х)=0.

В этом случае уравнение Шредингера примет вид:

(1)

Решением этого уравнения является функция:

Так как потенциальная энергия отсутствует, то Е представляет собой кинетическую энергию частицы:

(2)

Подставим (2) в (1) и обозначим . В результате получим обычной уравнение для бегущей плоской волны:

Общим решением этого уравнения будет:

Умножая обе части этого уравнения на получим:

Это уравнение выражает суперпозицию двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

Как следует из (2), энергия свободной частицы пропорциональна квадрату волнового вектора.

Так как на k никаких ограничений не накладывается, то свободная частица может обладать любой энергией - ее энергетический спектр является сплошным.

Соотношение:

называется дисперсионной формулой.

3. Фазовая и групповая скорости.

Во всех рассмотренных ранее случаях под скоростью распространения волн мы понимали фазовую скорость, т. е. скорость, с которой распространяется поверхность одинаковых фаз. В отсутствие дисперсии фазовая скорость волн не зависит от частоты. Поэтому, если есть набор волн разных частот, все они будут двигаться с одной и той же скоростью и пакет, который они образуют в результате сложения, при движении не изменяет своей первоначальной формы. Он движется с той же скоростью, что и волны, из которых состоит.

Для волн, которые имеют дисперсию, кроме фазовой, необходимо ввести понятие групповой скорости. Групповая скорость характеризует распространение волн сложного несинусоидального характера в среде, где фазовая скорость волн зависит от их частоты.

Групповая скорость волн — это скорость движения группы или цуга волн, которые образуют в каждый данный момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. На практике мы всегда имеем дело с группой волн. Любая реальная волна отличается от идеальной синусоиды хотя бы тем, что синусоида не ограничивается в пространстве и времени. Любая ограниченная в пространстве и времени синусоидальная волна представляет собой наложение большого количества синусоидальных волн, т. е. пакет. Любое затухающее колебание состоит из множества гармонических колебаний.

Таким образом, любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость распространения этой волны в среде, которая имеет дисперсию, отличается от фазовой скорости слагаемых волн. Эта скорость и носит название групповой. Распространение волнового сигнала определяется перемещением не какой-нибудь фазы колебаний, а энергии колебаний, которую переносит испускаемая источником группа волн.

Излучение всегда имеет некоторый спектральный интервал колебаний. Пакет таких волн с близкими частотами представляется волновой группой, которая имеет блуждающий максимум амплитуды.

Найдем аналитическое выражение для групповой скорости. Для простоты допустим, что группа волн состоит всего из двух волн, которые мало отличаются друг от друга по длине. Для определенности будем считать, что скорость монохроматических волн растет с увеличением их длины. Тогда нижняя волна, которая имеет длину , обгоняет верхнюю волну длиной .

Относительное размещение обеих волн для некоторого момента времени изображено на рисунке. Гребни А и А1 обеих волн совпадают. В этом месте будет максимум суммарных колебаний. Через некоторый промежуток времени т нижняя волна обгонит верхнюю на отрезок, равный , в результате чего совпадут гребни В и В1. Это значит, что максимум группы волн за данное время сместился назад на одну длину волны , и совпадает с точкой В. Поэтому скорость перемещения максимума группы волн в пространстве и меньше скорости верхней волны на величину :

(1)

Время , за которое максимум группы волн В1, догоняет максимум В, как видно, равно . Поэтому выражение для групповой скорости (1) принимает вид:

(2)

Из формулы (2) видно, что групповая скорость тем больше отличается от фазовой скорости и, чем сильнее зависимость скорости распространения волн от их длины.

Групповая скорость меньше фазовой, если (более длинные волны распространяются быстрее более коротких). Этот случай называют нормальной дисперсией.

Если же (более длинные волны распространяются медленней более коротких), то групповая скорость больше фазовой. Наблюдается аномальная дисперсия.

Для среды, которая не имеет дисперсии, , , т. е. групповая и фазовая скорости совпадают.

4. Понятие о квантовой статистике.

В классической механике поведение тел описывают с помощью уравнений динамики. Этот подход в микроэлектронике не реален в силу нескольких обстоятельств.

Решение уравнений для такого количества частиц невозможно и по техническим причинам, и в принципе, поскольку частицы взаимодействуют и между собой, и с узлами кристаллической решетки. Для таких случаев часто используют термодинамическое или статистическое описание.

Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Они позволяют предсказывать вероятность наступления того или иного состояния.

В статистической физике принято связь между параметрами частицы (импульс, энергия) и термодинамическими параметрами осуществлять с помощью статистической функции распределения. В качестве параметров коллектива частиц удобно использовать температуру и химический потенциал. Аргументами функции распределения являются координаты и проекции импульса.

Полной статистической функцией распределения называют функцию:

Где: - число частиц в интервале энергии от Е до ;

- среднее число частиц в данном интервале, найденное путем усреднения по многим одинаковым состояниям;

- число энергетических состояний в данном интервале.

Функцию обычно называют просто функцией распределения в отличие от полной функции распределения. Вид функции распределения зависит от свойств частиц, составляющих коллектив, и может изменяться с изменением параметров системы. Для расчета полной функции распределения необходимо определить конкретный вид .

Вид функции распределения зависит от особенностей поведения частиц, составляющих коллектив. Все микрочастицы, которые нам встретятся, по характеру поведения можно разделить на две группы: классические и квантовые.

Фермионы - микрочастицы, обладающие полуцелым спином. Это электроны, протоны, нейтроны и т.д.Основной характерной особенностью фермионов является то, что именно к ним (а не только к электронам) применим постулат запрета Паули. Фермионы подчиняются функции распределения Ферми-Дирака, чему и обязаны своим названием.

К бозонам принадлежат частицы с целочисленным или нулевым спином. Это фотоны, фононы, мезоны. На них не только не действует постулат Паули, но чем больше частиц на энергетическом уровне, тем больше вероятность его заселения. Бозоны подчиняются функции распределения Бозе-Эйнштейна.

Особенности квантовых частиц могут влиять на свойства коллектива. Для того чтобы это влияние стало определяющим для коллектива, необходима достаточно высокая плотность частиц в энергетическом пространстве, т.е. вероятность занимать одно или близкие энергетические состояния.

Предположим, что в системе имеется G различных энергетических состояний и N частиц. Мерой энергетической плотности частиц может служить отношение N/G.

Микрочастицы не будут влиять друг на друга, если:

В этом случае число вакантных состояний будет много больше числа микрочастиц: G>>N. В таких условиях особенности фермионов и бозонов не проявляются, поскольку не возникает вопрос о заселении одного состояния несколькими частицами. Такие коллективы называют невырожденными, а это неравенство условием невырожденности.

Если же число состояний G имеет один порядок с числом частиц N, т.е. если выполняется условие:

то вопрос о заселении энергетических состояний становится актуальным. В этом случае "характер" частиц проявляется и оказывает значительное влияние на свойства коллектива. Такие коллективы относят к вырожденным, а приведенную формулу называют условием вырождения.

Функция распределения для невырожденного коллектива, или функция у Максвелла-Больцмана, имеет вид:

Функция распределения для вырожденного коллектива фермионов впервые была получена итальянским физиком Энрико Ферми и английским физиком Полем Дираком:

Литература:

1. Степаненко И. П. Основы микроэлектроники: Учеб. пособие для вузов / — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2004. — 488 с: ил. I.

2. Марголин В,И., Жабрев В.А., Тупик В.А. Физические основы микроэлектроники. - М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 400 с.

3. Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники. М.: «Советское радио», 1971, стр. 376.

Дата добавления: 2014-01-11