Лекция 4. Тема:Основные положения метода пространства состояний

Тема: Основные положения метода пространства состояний.

1. Векторно-матричные уравнения состояния объектов и систем управления.

Объект управления относительно входа, выхода и его состояния характеризуется следующими переменными

, - m – мерный вектор входных сигналов (управляющих и

возмущающих воздействий),

, - n – мерный вектор координат состояния (n – порядок

объекта),

, - k – мерный вектор выходных координат (наблюдаемых и измеряемых).

Взаимосвязь этих переменных в общем случае характеризуется уравнениями

(1)

которые называются уравнениями состояния и описывают движение изображающей точки в

n – мерном пространстве состояний объекта. В уравнениях (1) и - нелинейные вектор-функции, характеризующие свойства объекта. Относительно выбора координат состояния следует отметить, что это могут быть любые переменные объекта, удовлетворяющие единственному условию: их совокупность должна образовать базис в пространстве состояний.

Поэтому эти переменные должны быть линейно независимыми и их число должно быть равно порядку объекта.

Как правило уравнения состояния (1), полученные из физических законов сохранения или экспериментально, подвергаются линеаризации и приобретают вид

(2)

где А - nn матрица коэффициентов (сопровождающая матрица характеристического полинома),

В - nm матрица управления или изменения состояния,

С - kn матрица выхода или наблюдения,

D - km матрица обхода.

Для нестационарных систем коэффициенты матриц в (2) могут также зависеть от времени.

Уравнение (2) иллюстрирует схема состояния, представленная на Рис 1.

Рис 1. Обобщенная схема состояния

Наличие матрицы обхода нехарактерно для большинства систем управления, поэтому в последующем она не вводится в уравнения.

2. Получение векторно-матричных уравнений состояния.

Векторно-матричные уравнения состояния можно получить различными способами в зависимости от выбранных переменных состояния – координатного базиса. Если такими переменными выбрана некоторая координата и все её производные до (n - 1)-го порядка включительно, то они называются естественными или фазовыми переменными, уравнения состояния получаются в канонической форме, а движение объекта описывается в виде перемещения изображающей точки по фазовой траектории.

Последовательность получения уравнений состояния в канонической форме имеет вид

- получение математической модели объекта в параметрическом виде и преобразование её к дифференциальному уравнению n-го порядка;

- линеаризация уравнения (если это необходимо);

- переход к форме Коши – системе из n дифференциальных уравнений первого порядка;

- определение элементов матриц А, В, С;

- запись уравнений состояния и построение схемы состояния.

Для линейной математической модели объекта вида

(3)

переход к формам Коши осуществляется введением фазовых переменных

…;

Выделяя старшую производную в (3), получаем

(4)

В новых фазовых переменных (4) имеет вид

.

Таким образом, дифференциальному уравнению (3) n-го порядка эквивалентна следующая система из n дифференциальных уравнений первого порядка (форма Коши)

(5)

Систему (5) можно представить в матричном виде

(6)

(7)

Сокращенная запись уравнений (6), (7) совпадает с (2), где матрицы канонической формы имеют вид

A = В = С = ; D = 0

Уравнениям (6), (7) соответствует колоническая схема состояния объекта, изображенная на Рис. 2

u

…

…

…

 

 

  -a₁

  -a₀

  -a_n-1

  -a_n-1

 

 

  ∑

  k

Рис 2. Каноническая схема состояния

3. Задание входных сигналов. Расширенная формы управлений состояния.

Входные сигналы объектов управления, как было отмечено, могут быть представлены в виде реализаций некоторых процессов, являющихся реакциями динамических систем, обычно линейных и стационарных, на типовые воздействия, в качестве которого используется - дельта функция Дирака. Соответственно уравнения состояния объекта дополняются уравнениями состояний такой динамической системы – формирователя заданного входного воздействия, и образуют совместно расширенную форму управлений состояния, для которой входным воздействием является типовое в виде .

Рассмотрим несколько таких типовых сигналов.

1)

Обозначим тогда

.

Этому уравнению соответствует следующая схема состояния (Рис 3.)

t

Рис. 3. Схема формирования ступенчатого воздействия

2)

Уравнение состояния

Схема состояния такого формирователя представлена на Рис 4.

  k

 

 

Рис 4. Схема формирования линейного воздействия

Наращивая число последовательно включенных интеграторов, получим схему формирователя любого воздействия, представляемого в виде степенного полинома.

3)

Обозначим . Тогда e

Такому уравнению состояния соответствует схема, представленная на Рис 5

Рис 5. Схема формирователя экспоненциального воздействия.

4)

Обозначим . Тогда после двукратного дифференцирования получим

Уравнение состояния имеет вид

Этим уравнением соответствует схема, изображенная на Рис 6.

 

Рис 6. Схема формирователя гармонического воздействия

5)

Уравнения состояния формирователя такого типа воздействий имеют одинаковый вид

Реализуемый тип процесса определяется соотношением коэффициентов, а именно видом характеристического управления

,

которые могут принимать значения:

Схема состояния формирователя второго порядка изображена на Рис 7.

  - а₂

  - а₁

 

 

Σ

Рис. 7. Схема формирователя второго порядка.

Очевидно, подобным образом можно построить схему формирователя любого процесса, порождаемого движением некоторой динамической системы, в общем случае в виде, изображенном на Рис. 2.

Расширенная форма уравнений состояния образуется дополнением уравнений состояния объекта (2) аналогичными уравнениями состояния формирователя воздействий

(8)

где - матрица коэффициентов формирователя,

- такие же, как в уравнение (2).

Расширенным уравнением состояния может придать форму (2), вводя блочные матрицы

Полученные таким образом расширенные уравнения состояния будут иметь каноническую форму.

Аналогичным образом могут быть построены формирователи стационарных случайных воздействий Гауссового типа по заданной спектральной плотности S_u(). В качестве типового воздействия применяется белый шум единичной интенсивности S₀()=1. В этом случае справедливо

(9)

где W_ф(р) – передаточная функция формирователя.

Однако процедура получения такой передаточной функции имеет свои особенности, связанные с необходимостью факторизации спектральной плотности S_u() случайного воздействия.

4. Метод фазовой плоскости – частный случай метода пространств состояний.

Для уравнений второго порядка пространство состояний превращается в плоскость, которая называется фазовой плоскостью. Фазовые траектории систем второго порядка исследованы достаточно полно и типизированы в зависимости от соотношения параметров. Обычно уравнение свободного движения объекта второго порядка задается в форме

которому соответствует форма Коши

(10)

Схема состояния такого объекта имеет вид, изображенный на Рис. 7.

В зависимости от соотношения параметров возникают следующие типовые фазовые портреты:

1) =0

Корни характеристического уравнения

Уравнения состояния (10) легко интегрируются и дают следующее уравнение фазовых траекторий

где А – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.

Полученное уравнение определяет тип фазовых траекторий – семейство эллипсов, изображенных на Рис. 8.

2)

Корни характеристического уравнения

Решение (10) имеет вид

(11)

Исключая время из этих соотношений, получим уравнение фазовой траектории, которая представляет собой свертывающуюся логарифметическую спираль. Фазовый портрет образует устойчивый фокус и представлен на Рис. 9

3)- 1<<0

Корни характеристического уравнения

Решение (10) имеет аналогичный (11) вид с учетом перемены знака у коэффициента затухания. Соответственно фазовые траектории представляют собой развертывающуюся логарифметическую спираль, а фазовый портрет образует неустойчивый фокус, представленный на Рис. 10

4) >1

Корни характеристического уравнения вещественные, различные и отрицательные числа

Решение (10) имеет вид

(12)

Исключая время из соотношений (12), можно получить уравнение фазовой траектории, которая имеет достаточно сложную аналитическую зависимость. Семейство таких траекторий представлено на Рис. 11 и образует устойчивый узел. Заметим, что фазовые траектории имеют две асимптоты, соответствующие уравнениям

5) .

Корни характеристического уравнения вещественные, различные, но положительные числа

Решение (10) имеет аналогичный (12) вид с учетом перемены знака у корней. Соответственно фазовые траектории образуют неустойчивый узел, что иллюстрирует Рис. 12.

6) , при следующей форме уравнения объекта

Интегрирование этого уравнения приводит к следующей фазовой траектории

то есть к уравнениям семейства гипербол, с асимптотами

Соответствующий фазовый портрет представлен на Рис. 13.

Приведенные типовые фазовые портреты исчерпывают возможные фазовые траектории линейных систем второго порядка. Заметим, что для объекта первого порядка также могут быть построены фазовые траектории, которые всегда имеют вид прямых

параллельных друг другу, что иллюстрирует Рис. 14.

Метод фазовой плоскости является эффективным методом качественного исследования динамики систем второго порядка и применяются в основном для анализа поведения и устойчивости нелинейных систем управления.

Рис. 8. Предельный цикл

t

Рис. 9. Устойчивый фокус

Дата добавления: 2014-01-11