Идеальных газов

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку Δ S (рис. 5) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

Рис. 5

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m₀v — (— m₀v) — = 2m₀v, где т₀ — масса молекулы, v — ее скорость. За время Δ t площадки Δ S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Δ S и высотой v Δ t (см. рис. 5). Число этих молекул равно п Δ Sv Δ t (n — концентрация молекул).

Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке Δ S под разными углами, имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем из них половина (l/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку Δ S будет

При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

(1)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂,..., v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

(2)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

(3)

Выражение (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

Учитывая, что , получим

(4)

или

(5)

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Так как масса газа т = Nm₀, то уравнение (4) можно переписать в виде

Для 1 моль газа т = М (М — молярная масса), поэтому

где V_m — молярный объем.

С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pV_m = RT. Таким образом,

откуда

(6)

Так как М = m₀N_A, где т₀ — масса одной молекулы, a N_A — постоянная Авогадро, то из уравнения (6) следует, что

(7)

где — постоянная Больцмана.

Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

Скорости, характеризующие состояние газа:

1) наиболее вероятная

2) средняя1,13 v_{B ;}

3) средняя квадратичная

Это следует из закона Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

(8)

Для этого использовали формулы (5) и (7).

При предельно низких температурах (близких к 0 К) выражение (8) не справедливо, т. е. средняя кинетическая энергия молекул не пропорциональна температуре. Поэтому утверждение о том, что при 0 К прекращается движение молекул газа, некорректно. В настоящее время доказано, что даже при 0 К частицы вещества совершают так называемые нулевые колебания.

Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

Экспериментальным подтверждением основных положений и выводов молекулярно-кинетической теории является броуновское движение. Броуновским движением называют непрерывное хаотическое движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе (сила тяжести не влияет на их движение). Броуновское движение не зависит от каких-либо внешних причин, а является следствием движения частиц среды и наличия между частицами среди межмолекулярного пространства.

Дата добавления: 2014-01-11