ЛЕКЦИЯ 8. Статически неопределимые задачи при осевом растяжении-сжатии. Определение внутренних усилий и перемещений сечений. Расчёты на прочность и жёсткость

К статически определимым системам относятся такие, в которых из уравнений равновесия (уравнений статики) можно определить все неизвестные внутренние усилия и опорные реакции. Примеры таких систем приведены на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Статически определимые системы

Все системы, приведённые на рис. 8.1, являются не только статически определимыми, но и геометрически неизменяемыми, т.е. перемещения любых точек систем происходят только за счёт деформаций элементов.

На ряду со статически определимыми, широкое применение в строительстве находят и статически неопределимые системы. В статически неопределимых системах для нахождения неизвестных опорных реакций и внутренних усилий недостаточно уравнений статики. Пример таких систем приведён на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Статически неопределимые системы

У всех систем, приведённых на рис. 8.2 число всех неизвестных превышает число уравнений статики на единицу, т.е. степень статической неопределимости этих систем равна единице или они один раз статически неопределимы. Бывают системы, степень статической неопределимости которых равна двум, трём и т.д.

Для решения статически неопределимых задач, т.е. для раскрытия их статической неопределимости необходимо привлечь дополнительные уравнения. Количество этих уравнений зависит от степени статической неопределимости. В качестве дополнительных уравнений используют уравнения деформаций, выражающие связь между деформациями отдельных элементов системы (или их удлинениями или перемещениями точек системы).

Для возможности использования деформационного уравнения при решении статически неопределимой задачи уравнение преобразуют и выражают через усилия. Для этого рассматривается физическая сторона задачи и принимается во внимание связь между напряжениями и деформациями, выраженная графически диаграммой напряжений. Истинную диаграмму напряжений (рис. 7.2) представить в аналитической форме затруднительно. Для упрощения расчётов используют идеализированную диаграмму Прандтля (рис. 8.3), состоящую из двух прямолинейных участков.

Рис. 8.3. Диаграмма Прандтля

Эта диаграмма проста и хорошо отражает действительное поведение пластичного материала в реальных конструкциях. Диаграмма Прандтля распространяет зону действия закона Гука до площадки текучести , после чего предполагается, что материал испытывает текучесть при любой деформации .

Использование диаграммы Прандтля позволяет производить расчёт статически неопределимых систем в двух возможных постановках.

Во-первых: чисто упругая стадия работы материала – ни в одной из точек конструкции напряжение не достигает предела текучести, т.е. закон Гука остается справедлив на протяжении всего нагружения.

Во-вторых: упруго-пластическая стадия работы материала, при которой в начальный период загружения материал работает в упругой стадии, а затем по мере роста внешних сил, в отдельных или во всех элементах конструкции развивается текучесть при .

Расчёт статически неопределимых систем при упругой работе материала. Вернёмся к одной из статически неопределимых систем, приведённых на рис. 8.2.

Рис. 8.4.

Рассмотрим статическую сторону задачи. Составим уравнение моментов относительно точки О.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Запишем уравнение деформаций. Положение бруса до и после нагружения показано на рис.8.4.

Ввиду малости смещений считаем, что точки В и С смещаются перпендикулярно оси бруса, т.е. вертикально вниз. Т.к. ВВ ₁ = Δ l ₁, СС ₁ = Δ l ₂, то деформационное уравнение в данной системе имеет вид Δl ₂ = 2 Δl ₁ (это следует из Δ СОС ₁ Δ ВОВ ₁).

Рассмотрим физическую сторону задачи. С учётом работы материала обеих подвесок в зоне только упругих деформаций это можно записать как

Здесь l ₁, l ₂, Е ₁ А ₁, Е ₂ А ₂ – заданные длины и жёсткости первой и второй подвесок, соответственно. Получено уравнение деформаций, выраженное через неизвестные внутренние усилия N₁ = R _В и N ₂ = R _С.

Решим совместно уравнения (8.1) и (8.2), это позволит определить внутренние усилия в подвесках.

По сравнению со статически определимыми все статически неопределимые системы обладают рядом отличительных свойств.

Свойства статически неопределимых систем.

1. Усилия в стержнях статически неопределимой системы зависят не только от внешней нагрузки и расчётной схемы сооружения, но и от соотношения жесткостей.

2. В элементах статически неопределимой системы появляются усилия и напряжения, вызванные изменением температуры хотя бы одного элемента (температурные усилия и напряжения).

3. В элементах статически неопределимой системы появляются усилия и напряжения, вызванные сборкой конструкции из неточно изготовленных (по длине) элементов (монтажные усилия и напряжения).

В общем виде зависимость для определения изменения длины стержня можно записать как

Здесь знак плюс соответствует следующему:

перед скобками – увеличению длины стержня по принятой схеме деформирования;

перед - растягивающей силе N, соответствующей данному стержню;

перед - увеличению температуры стержня;

перед - завышению длины изготовленного стержня против проектного значения.

В противоположных случаях ставится знак минус.

Дата добавления: 2014-01-11