Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами вида:

y⁽ⁿ⁾ + p₁y^(n-1) + p₂y^(n-2) +... + p_nу = 0. (6)

где p_i, (i = 1, 2, 3, …, n) - числа, решается аналогично случаю уравнения вто­рого порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.

Частные решения уравнения (6) также ищем в виде у = е^kх, где k - постоянное число.

Характеристическим уравнением для уравнения (6) является алгебраиче­ское уравнение n-го порядка вида: kⁿ + p₁k^(n-1) + p₂k^(n-2) +... + p_n-1k + p_n = 0. (7)

Уравнение (7) имеет n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k₁, k₂,..., k_n.

Замечание. Не все из корней уравнения (7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k - З)² = 0 имеет два равных корня: k₁ = k₂ = 3. В этом случае говорят, что корень один и равен 3, т.е имеет кратность m_k = 2. Если кратность корня равна единице, т.е. m_k = 1, то его называют простым корнем.

Случай 1. Все корни уравнения (7) действительны и различные. Тогда функции y₁ = , у₂ = ,..., у_n = являют­ся частными решениями уравнения (6) и образуют фундаменталь­ную систему решений, т.е. линейно независимы. Поэтому общее решение уравнения (6) записывается в виде:

y = с₁+ с₂... + с_n.

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действитель­ные, но не все простые, т.е. есть корни, имеющие кратность m > 1. Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида е^kх, а каждому корню k кратности m > 1 соответствует m частных решений: е^kх, хе^kх, х²е^kх..., х^m-1е^kх.

Случай 3. Среди корней уравнения (7) есть комплексно-сопря­женные корни. Тогда каждой паре α ± βi простых комплексно-со­пряженных корней соответствует два частных решения е^αх cos βх и е^αх sin βх, а каждой паре α ± βi корней кратности m > 1 соответствуют 2m частных решений вида

е^αхcos βх, хе^αхcos βх,..., х^m-1е^αх cos βх; е^αхsin βх, хе^αхsin βх,..., х^m-1е^αхsin βх;

Эти решения образуют фундаментальную систе­му решений.

Дата добавления: 2014-01-11