Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (1). Его общим решением является функция (3), т. е.

y = y* + .

Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно об­щее решение у соответствующего однородного уравнения (2), мето­дом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоя­щим в следующем. Пусть = c₁y₁(x) + c₂y₂(x) - общее решение уравне­ния (2). Заменим в общем решении постоянные c₁ и с₂ неизвестными функциями c₁(x) и с₂(x) и подберем их так, чтобы функция вида:

у* = c₁(x)y₁(x) + c₂(x)y₂(x) (6)

была решением уравнения (1). Найдем производную

(у*)' = c^/₁(x)y₁(x) + c₁(x)y^/₁(x) + с'₂(х)у₂(х) + с₂(х)у'₂(х). Подберем функции c₁(x) и с₂(x) так, чтобы c^/₁(x)y₁(x) + с'₂(х)у₂(х) = 0. (7)

Тогда

(у*)' = c₁(x)y^/₁(x) + с₂(х)у'₂(х).

(у*)" = c^/₁(x)y^/₁(x) + c₁(x)y^//₁(x) + с^/₂(х)у'₂(х) + с₂(х)у^//₂(х).

Подставляя выражение для у*, (у*)' и (у*)" в уравнение (1), получим:

c^/₁(x)y^/₁(x) + c₁(x)y^//₁(x) + с^/₂(х)у'₂(х) + с₂(х)у^//₂(х) + a₁(x)[c₁(x)y^/₁(x) + с₂(х)у'₂(х)] +
а₂(x)[ c₁(x)y₁(x) + c₂(x)y₂(x)] = f(x), или

c₁(x)[y^//₁(x) + a₁(x) y^/₁(x) + а₂(x) y₁(x)] + c₂(х)[ y^//₂(x) + a₁(x) y^/₂(x) + а₂(x) y₂(x)] + c^/₁(x)y^/₁(x) + с^/₂(х)у'₂(х) = f(x).

Поскольку y₁(х) и у₂(х) - решения уравнения (2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

c^/₁(x)y^/₁(x) + с^/₂(х)у'₂(х) = f(x). (8)

Таким образом, функция (6) будет частным решением у* уравнения (1), если функции c₁(x) и с₂(x) удовлетворяют системе уравне­ний (7) и (8):

(9)

Определитель системы ≠ 0, так как это определитель

Вронского для фундаментальной системы частных решений y₁(х) и у₂(х) уравнения (2). Поэтому система (9) имеет единственное решение: с^/₁(х) = φ₁(x) и с^/₂(х) = φ₂(x), где φ₁(x) и φ₂(x) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим c₁(x) и с₂(x), а затем по формуле (6) составляем частное решение уравнения (1).

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема (о наложении решений). Если правая часть уравне­ния (1) представляет собой сумму двух функций: f(x) = f₁(x) + f₂(x), а у^*₁ и у^*₂ - частные решения уравнений у" + a₁(x)у' + a₂(x)у = f₁(x) и у" + a₁(x)у' + a₂(x)у = f₂(x) соответственно, то функция у* = у^*₁ + у^*₂ является решением данного уравнения.

Действительно,

(у^*₁ + у^*₂)^// + a₁(x)(у^*₁ + у^*₂)^/ + a₂(x)(у^*₁ + у^*₂) = ((у^*₁)" + a₁(x)(у^*₁)^/ + a₂(x)у^*₁) + ((у^*₂)" + a₁(x)(у^*₂)^/ + a₂(x)у^*₂) = f₁(x) + f₂(x) = f(x).

Дата добавления: 2014-01-11