Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициен­тами, т. е. уравнение вида:

у" + py^/ + qy = f(x), (10)

где р и q - некоторые числа.

Согласно теореме, общее решение уравнения (10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (10) может быть найдено методом вариации про­извольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (10) существу­ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) урав­нения (10) имеет так называемый «специальный вид»:

1. f(x) = P_n(x)e^αx или

2. f(x) = e^αx(Р_n(х)cos βx + Q_m(x)sin βх).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен­тов, состоит в следующем: по виду правой части f(х) уравнения (10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (10) и из полу­ченного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (10) имеет вид f(x) = P_n(x)e^αx, где α R, Р_n(x) - многочлен степени n. Уравнение (10) запишется в виде:

у" + py^/ + qy = P_n(x)e^αx, (11)

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

y* = x^r∙Q_n(x)e^αx, (12)

где r - число, равное кратности корня характеристического уравнения (α): k² + рk + q = 0 (т. е. r - число, показывающее, сколько раз α является корнем уравнения k² + рk + q = 0), а Q_n(x) = А₀хⁿ + A₁x^n-1 +... + А_n - многочлен степени n, записанный с неопреде­ленными коэффициентами A_i (i = 1, 2,..., n).

а) Пусть α не является корнем характеристического уравнения

k² + рk + q = О,

т.e. α ≠ k_1,2. Следовательно, r = 0, у* = Q_n(x)е^αx, (у*)^/ = Q'_n(x)е^αx + Q_n(x)αе^αx,
(y*)" = Q^//_n(x)е^αx + 2Q'_n(x)αe^αx + Q_n(x)α²е^αx.

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (11) и сокращения на е^αx, получим:

Q^//_n(x) + (2α + p)Q'_n(x) + (α ² +pα + q)Q_n(x) = P_n(x). (13)

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. При­равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе­му (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов A₀,A₁,...,A_n.

б) Пусть α является однократным (простым) корнем характери­стического уравнения k² + рk + q = 0, т. е. α = k₁ ≠ k₂.

В этом случае искать решение в форме у* = Q_n(x)e^αx нельзя, т. к. α² + pα + q = 0, и уравнение (13) принимает вид Q^//_n(x) + (2α + p)Q'_n(x) = P_n(x).

В левой части - многочлен степени (n - 1), в правой части - много­член степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n + 1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде у* = хQ_n(x)e^αx (в равенстве (12) положить r = 1).

в) Пусть α является двукратным корнем характеристического
уравнения k² +pk + q = 0, т. е. α = k₁ = k₂. В этом случае α ² +pα + q = 0 и 2α + р = 0, а поэтому уравнение (13) принимает вид Q^//_n(x) = P_n(x).

Слева стоит многочлен степени n - 2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде у* = x²Q_n(x)e^αx

(в равенстве (12) положить r = 2).

Случай 2. Правая часть (10) имеет вид:

f(х) = е^αx(Р_n(х)cos βx + Q_m(x)sin βх),

где Р_n(х) и Q_m(x) - многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительные числа. Уравнение (10) запишется в виде:

y" +py' + qy = е^αx(Р_n(х)cos βx + Q_m(x)sin βх) (14)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (14) следует искать в виде

у* = х^rе^αx(M_l(х)cos βх + N_t(х)sin βx), (15)

где r - число, равное кратности α + βi как корня характеристического уравнения k² + рk + q = 0, M_l(x) и N_l(x) - многочлены степени l с не­определенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Р_n(х) и Q_m(x), т.е. l = max(n, m).

Дата добавления: 2014-01-11