Откуда получим, что

P{S≤U}=Ф

Задаваясь значением вероятности не разорения, мы можем найти значение (того, что в скобках) капитала U. В качестве платы p_i за i-й договор страхования выбрать mζ_i, то резервный фонд компании составит:

U=

И отсюда Р(S>U)=P(S>MS)=Ф(О)=1/2. Такая вероятность разорения неприемлема, поэтому в качестве платы за страховку р_i следует назначить величину p_i=Mζ_i+l_i, где l_i – некоторая добавочная величина, тогда резервный фонд компании будет равен:

U=MS+l, l=

Вероятность разорения P(S>U)

P

Т.о. если мы хотим, чтобы вероятность не разорения компании была α (обычно за α принимается число, близкое к 1), то l=x(α), где х(α) – квантиль порядка α, х(α) - коэффициент Стьюдента.

Теперь следует разделить l между всеми договорами. Если труппа однородная, то l_i=l/N, однако, если рассматривать центральную предельную теорему в более общей формулировки, не требуя, чтобы все ζ_i имели одинаковое распределение, то естественно разделить l пропорционально убытку Мζ_i и тогда

l_ζ=kM_ζ

Т.к. известны и и k=x_α, x_α – коэффициент, характеризующий точность, тогда для страховой премии мы имеем:

P_i=(1+k)Mζ_i=Mζ_i(1+x_α) (*)

Основной вклад в p_i даёт Мζ_i, она называется нетто-премией, а добавочная сумма l_i=kMζ_i называют страховой надбавкой, Q_i=l_i/Mζ_i – относительной страховой надбавкой, однако, назначение индивидуальных премий р по правилу (*) не справедливо по отношению к договорам с малыми флюктуациями возможного ущерба Dζ_i. Эти договоры как бы оплачивают по другим договорам.

Было бы справедливо делить l пропорционально дисперсиям Dζ_i или среднеквадратичному отклонению, т.е.

l_i=RDζ_i или l_i=k

Суммируя по i и учитывая, что l=x_αполучим, что k=или k=x_αдля второго случая. Соответственно, для индивидуальной премии имеем:

P_i=Mζ_i+Dζ_i

P_i=Mζ_i+

Исходя из этого, относительные страховые надбавки вычисляются по формулам:

Q_i=

Q_i=

Пример: страховая компания заключила n=10 000 договоров страхования жизни до 1 года на условиях: в случае смерти застрахованного лица в течение года от несчастного случая, его наследникам выплачивается 1 млн. рублей, а в случае естественной смерти 250 тыс. рублей, а если застрахованное лицо не умирает в течение года, то страховая компания не платит ничего. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста и состояния здоровья. По этим признакам застрахованные разбиваются на 2 группы: n₁=4 000 человек и n₂=6 000 человек. С вероятностью естественной смерти в течение года q₁=0.004 и q₂=0.002. вычислить р, гарантирующий, что компания выполнит свое обязательство с вероятностью 0.95.

Решение:

Примем за единицу измерения денежных сумм 250 тыс. рублей, тогда для договоров первой группы индивидуальный убыток принимает значения 0, 1, 4 с вероятностями 0,9955; 0,004; 0,0005. для второй группы убыток принимает те же значения с вероятностью 0,9955; 0,002; 0,0005. вычислим Dζ_i и Mζ_i

1. Dζ_i=0

Mζ_i=0

Dζ_i=0.012;

2. Mζ_i=0

Dζ_i=0

Рассчитаем суммарный убыток MS:

MS=n₁=4 000

DS=n₁=4 000

Для того, чтобы гарантировать вероятность неразорения, равную 0.95, резервный фонд компании должен быть равен MS+l. Найдём l:

l=x_α l=x_0.95

x_0.95=1.645

Найдём относительную страховую надбавку:

Q=, т.к. Q - одна для всех.

Q==0.356=35.6%

Для договора первой группы: p₁=M_i(1+Q)=0.0084;

р₂=M₂(1+Q)=0.00542.

В рублях: p₁=2034 рубля;

P₂=1356 рублей.

Дата добавления: 2014-01-11