Анализ модели долгосрочного страхования

Рассмотрим модель финансовой деятельности компании, имеющей N страховых договоров t₀, и предположим, что в этот момент премии p по страховым договорам внесены полностью. Обозначим через T_k время выплаты пособия по k-му договору, а через b_k – величину этого пособия, т. о. В момент t₀+0 капитал компании равен:

где p_k – плата за k-й договор.

Проанализируем динамику компании U(t), расположим T_k в порядке возрастания и получим вариационный ряд: 0<T(1)£T(2)£…<=T(N). В промежутках T_k…T_k+1 капитал возрастает по закону U_(T(k)+t)=U(T_k)(1+I)^t, где i- ставка % не зависящая от времени.

В момент T_k+1 значение U(t) уменьшается на величину страховой выплаты

U(T_k+0)=U(T_k-0)-b_k

Если окажется, что в некоторый момент времени T_k величина U(T_k-0) окажется меньше величины b_k, то компания не сможет выплатить нужную сумму, что означает разорение. Рассмотрим изменение величины U(t), при a компания не разоряется. В момент времени T₁-0 компания располагает капиталом U₀(1+I)T₁, при этом выполняется соотношение:

U₀(1+i)^T₁³b₁

В момент времени T₁+0 компания имеет сумму U₀(1+i)^T₁-b₁, т. е. она делает страховую выплату.

В момент T₂-0 компания располагает капиталом:

(U₀(1 + i)^T₁ - b₁)(1 + i)^T₂ ^{- T}₁

при этом условие «неразорения»:

U₀(1 + i)^T₂³b₁(1+i)^T₂ ^{- T}₁ + b2

В момент времени T₂+0 капитал компании составит сумму:

(U₀(1+i)^T₁ - b₁)(1 + i)^T₂ ^{- T}₁ - b₂

В момент времени T_N-1-0 компания будет располагать средствами:

U₀(1+i)^T_N ^{– 1} – b₁(1+i)^T_N-1 ^{– T}₁ – b_N-2(1+i)^T_N-1 ^{– T}_N-2

Условие «неразорения»:

U₀(1+i)^T_N-1³

И тогда в момент времени T_N-1 – 0 капитал составит:

Условие «неразорения» на T_N-0:

Капитал должен соответствовать системе уравнений:

k=1…0

Компания не разорится, если будет выполнено N неравенств.

Разделив правую и левую часть на (1+i), получим:

k=1…N

V - множитель дисконтирования

В таком виде все предыдущие неравенства будут справедливы, если будет выполнено неравенство при k=N, т. е.:

- условие «неразоримости».

, тогда:

Z_k – сумма выплаты по k-тому договору, приведённая к моменту Т=0. Таким образом «неразорение» компании выглядит следующим образом:

Вероятность разорения компании задаётся формой:

Эта формула аналогична формуле для вероятности разорения компании при краткосрочном страховании.

Величина U₀ играет роль суммарного капитала, а величина Z_k убытку по k-тому договору. Т. о. при расчёте вероятности разорения по долгосрочному страхованию всё происходит также как и при краткосрочном страховании с убытками Z_k при этом НСПО – премия для k-го договора будет выглядеть следующим образом:

(P_k)ⁿ=MZ_k

А относительная страховая надбавка может быть определена формулой:

Как было описано в вводном замечании актуарной математики, продолжительность жизни для цели страхования описывается функциями t(t) и b(t). Предположим, что

- приведённая стоимость страхового пособия на момент заключения страхового договора человеком в возрасте Х лет. Здесь s - интенсивность процентов. Чтобы подчеркнуть зависимость св Z от процентной ставки введём обозначения Z_ds:

A_ds=MZ_ds=Mb(T_x)V ^{t (T}_x⁾=Mb(T_x)e^{-s t (T}_x⁾

Приведённая стоимость страховой выплаты, если интенсивность %=d. Предположим, что в нашей страховой модели функция b(Т) принимает значения «1» и «0», это означает, что величина выплачиваемого пособия не зависит от момента выплаты. В этом случае:

, где j – степень величины будущей страховой выплаты, подсчитанной для интенсивности % s, совпадающая со страховой выплатой рассчитанной для интенсивности % js. Для средних значений получим:

Обычно основная процентная ставка не фиксируется и в этом случае величины А_ds=А, Z_ds=Z. А величина А_djs=^jA в этом случае

DZ=²A-A²

Т.о. стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет может быть конкретизировано и её расчёт может быть упрощён. В случае исключительно накопительного страхования:

И тогда актуарная стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет задаётся по формуле:

Дата добавления: 2014-01-11