Второй признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда (А) и (В). Если существует , , то при из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а при из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А). Таким образом, при оба ряда сходятся либо расходятся одновременно.

Доказательство

Пусть ряд (В) сходится и . По определению предела для такой, что для имеет место неравенство: или , откуда следует: . По теореме 1 § 2 ряд сходится, а по первому признаку сравнения будет сходится и ряд .

Пусть теперь ряд (В) расходится и . Тогда . Ряд (А) должен быть расходящимся, иначе, если предположить противное, то по только что доказанному сходится и ряд (В).

Дата добавления: 2014-01-11