Для малой выборки доверительный интервал

Пример

При приемке сооружений комиссия в качестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно инструкции требуется выполнять измерений. Допускаемое отклонение параметра . Если предварительно вычисленное значение , то можно определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр.

Из формулы (2.2) можно записать

.

В соответствии с табл.10.1 доверительная вероятность для .

Это низкая вероятность.

Погрешность, превышающая доверительный интервал , согласно выражению (1.4) будет встречаться один раз из , т.е. из четырех измерений. Это недопустимо.

В связи с этим необходимо вычислить минимальное количество измерений с доверительной вероятностью , равной и .

По формуле (2.2) имеем измерения при и измерения при , что значительно превышает установленные измерений.

Для нахождения границы доверительного интервала при малых значениях () применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком Госсетом В.С. (псевдоним Стьюдент).

Кривые распределения Стьюдента в случае (практически при ) переходят в кривые нормального распределения (рис.10.1).

Рис.2.1. Кривые распределения Стьюдента для различных значений:

1 - при ; 2 - при ; 3 - при

, (2.3)

где - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл.1.2

в зависимости от значения доверительной вероятности .

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки

. (2.4)

Возможна и иная постановка задачи.

По известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы .

Задачу решают в такой последовательности:

1. Вначале вычисляется среднее значение , и .

2. С помощью величины , известного и табл.1.2 определяют доверительную вероятность.

В процессе обработки экспериментальных данных следует исключить грубые ошибки ряда. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо влияет на результат измерений. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило "трех сигм": разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать

. (2.5)

Более достоверными являются методы, базируемые на использовании доверительного интервала.

Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляются по формулам

; , (2.6)

где - наибольшее и наименьшее значения из измерений.

В табл.2.1 приведены максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса, в зависимости от доверительной вероятности.

Если , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность.

Если исключается величина .

После исключения грубых ошибок определяют новые значения и из или измерений.

Таблица 2.1

Критерий появления грубых ошибок

Дата добавления: 2014-01-11