Необходимое условие сходимости ряда

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и

2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Будем решать в основ­ном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .

Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через его

сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда и . От­сюда . Так как и при , то

.

Теорема доказана.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости

ряда.

Пример. Рассмотрим ряд

,

который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармо­нического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как . Докажем, что этот ряд расходится.

Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через , мы бы имели

.

Но

,

т. е. . Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо допол­нительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

4. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости рядов с
неотрицательными членами.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных усло­вий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предвари­тельно докажем теорему, которая будет использована в последую­щих рассуждениях.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился,

необходимо и достаточно, чтобы последо­вательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. В силу теоремы о сходящихся последовательностях всякая сходящаяся последова­тельность является ограниченной.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена.

Так как ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют неубывающую последо­вательность: В силу теоремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она сходится, т е сходится ряд . Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-11