Достаточные условия сходимости ряда

Установим ряд призна­ков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Признак сравнения.

Теорема. 6. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что

. (7)

Если ряд сходится, то по теореме 14.5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого , где — некоторое число. Но тогда по фор­муле (7) и , откуда по той же теореме 14.5 (достаточность) следует, что ряд сходится.

Если же ряд расходится, то ряд также расходится, так как,

допустив сходимость ряда , получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Пример 1. Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии:.

Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармо­нический ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосред­ственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Признак Даламбера.

Теорема 7. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда a) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Доказательство. а) Пусть и . Докажем,

что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что

(8)

Так как , то можно взять настолько малым, что будет вы­полнено неравенство . Полагая , на основа­нии правого из неравенств (8) имеем

, или

для Придавая эти значения, из послед­него неравенства получаем

т. е. члены ряда

(9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элемен­тов геометрической прогрессии:

(10)

Так как , то ряд (10) сходится (см. пример 3 из ч.1). Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.

б) Пусть теперь . Докажем, что ряд расходится.

Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с неко­торого номера , возрастают с увеличением их номеров, т. е. об­щий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4 ряд расходится. Теорема доказана.

Замечание. При , как показывают примеры, ряд может, как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Ряд сходится, так как

.

Пример 4. Ряд расходится, так как

.

Пример 5. Рассмотрим ряд . Имеем . Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.

Интегральный признак.

Теорема 8. Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд расходится.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , с боковых сто­рон прямыми , снизу осью Ох Впишем в эту трапе­цию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями и высотами (рис. 214). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определенного инте­грала, имеем

, или, короче,

.

Отсюда получаем

, (11)

, (12)

где — частичные суммы рассматриваемого ряда.

Пусть интеграл сходится. Это значит, что существует .

Так как , то последовательность возрастает с увеличением и ограничена сверху своим пределом:

. Из неравенства (11) следует, что , т. е. последовательность частичных сумм ряда ограничена. По теореме 14.5 ряд сходится.

Пусть теперь интеграл расходится. В этом

случае при (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (12) следует, что при , т. е. последо­вательность частичных сумм ряда расходится и, следо­вательно, ряд расходится. Теорема доказана.

Пример 6. Рассмотрим ряд С помощью интегрального признака выясним поведение дан­ного ряда при . Возьмем в качестве функции функцию которая удовлетворяет условиям теоремы 8. Члены ряда равны значениям этой функции при Как известно несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. наруша­ется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 4).

В частности, при имеем сходящийся ряд

; при — расходящийся гармонический ряд ; при — Расходящийся гармонический ряд и т.д.

Контрольные вопросы

1. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряды:

Задача№1 Задача №2

Задача №3 Задача №4

2. С помощью признака Коши исследовать на сходимость ряды:

Задача №1 Задача №2

Задача №3 Задача №4 ;

3. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряды:

Задача №1 Задача №2

Задача №3 Задача №4

4. Найти сумму рядов:

1. Найти сумму ряда

2. Найти сумму ряда

3. Найти сумму ряда

4. Найти сумму ряда

5. Найти сумму ряда

Дата добавления: 2014-01-11