Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Та­кие ряды называются знакопеременными рядами. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

, (1)

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмо­трим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

. (2)

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема 2. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Обозначим
через частичную сумму ряда (1), а через частичную сумму
ряда (2):; . Так как ряд (2) сходится, то последова­тельность его частичных сумм имеет предел ,

при этом для любого имеет место неравенство

, (3)

поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через сумму положительных членов, а через сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме . Тогда

, (4)

. (5)

Очевидно, последовательности и не убывают, а из ра­венства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограни­ченными: и . Следовательно, сущест­вуют и . Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

.

Это означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

Пример 1. Ряд 1-1/2²-1/3²+1/4²+1/5²-1/6²-1/7²+... согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: 1+ 1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+1/7² +... (см. пример 6 из ч. 2).

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда яв­ляется достаточным, но не необходимым, так как существуют зна­копеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величии их членов, расходятся. Так, например, ряд согласно признаку Лейбница сходится (см. пример из § 3), а ряд ,

составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их чле­нов, также сходятся.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Пример 2. Ряд 1 — 1/2 + 1/4—1/8+1/16—1/32 +... абсо­лютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин 1 + 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 +..., также схо­дится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со знаменателями, соответственно равными —1/2 и 1/2).

Пример 3. Ряд условно сходя­щийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин , расходится (см. пример 6 из § 2).

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходя­щиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают. Например, для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме поло­жительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов, что было показано при доказательстве теоремы 10.

Контрольные вопросы

Дата добавления: 2014-01-11