Свойства степенных рядов. Пусть функция является суммой степенного ряда

Пусть функция является суммой степенного ряда

, (6)

интервал сходимости которого (— R, R).

В этом случае говорят, что на интервале (— R, R) функция f(х) разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням х).

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов, которые приведем без доказательства.

Теорема 4. Если функция f (х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (6), т. е.

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(х). При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теорема 5. Если функция f (х) на интервале ( — R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале ( — R, R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным инте­грированием ряда (6), т. е. если , то

Представляет интерес интегрирование степенного ряда (6) по отрезку [0, х ], где :

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Сформулированные теоремы дифференцирования и интегриро­вания степенных рядов имеют важное значение. Далее они неодно­кратно используются.

Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

. (7)

Ряд вида (7) приводится к виду (1) заменой переменной .

Если функция f(х) является суммой ряда (7), то в этом случае говорят, что функция f(х) разлагается в ряд по степеням .

Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (7). Для простоты записи последующие рассуждения проводятся для рядов вида (1).

Дата добавления: 2014-01-11