Система одночасних структурних рівнянь. Проблеми ідентифікації

ТЕМА 7. НЕПРЯМИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ. ПРОБЛЕМИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ

ПЛАН (ЛОГІКА)ВИКЛАДУ І ЗАСВОЄННЯ МАТЕРІАЛУ

7.1. Система одночасних структурних рівнянь.Проблеми ідентифікації.

7.2. Рекурсивні системи.

7.3. Непрямий метод найменших квадратів.

7.4.Двокроковий метод найменших квадратів.

7.5. Трикроковий метод найменших квадратів.

Наявність прямих і зворотних зв'язків між економічними показниками вимагає побудови економетричної моделі на основі системи рівнянь.

Приклад. Нехай треба побудувати економетричну модель, яка характеризує обсяг національного доходу залежно від виробничих ресурсів: основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів. У такому разі доцільно будувати економетричну модель на основі системи одночасних структурних рівнянь:

(7.1)

де X_t — випуск продукції; Y_t— валовий внутрішній продукт; F_t —- основні виробничі фонди; L_t— робоча сила; М_t — матеріальні ресурси; t — період часу.

Запишемо два перші рівняння аналітично:

де a ₀, a ₁, a ₂, b ₀, b ₁ —параметри моделі, u_t, v_t — залишки.

Отже, економетрична модель складається з трьох одночасних рівнянь, два перших є регресійними, а третє — тотожність. Оскільки вони описують економічні процеси, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння повинні мати спільний розв'язок.

Приклад. Нехай треба визначити темпи зниження собівартості продукції на підприємстві залежно від темпу росту продуктивності праці і підвищення заробітної плати, задавши при цьому співвідношення між темпами зміни собівартості продукції і заробітної плати на рівні k.

Такий взаємозв'язок можна визначити на основі економетричної моделі, яка також описується системою одночасних структурних рівнянь:

(7.2)

де Т_c — індекс зниження собівартості продукції; T_n — темп росту продуктивності праці; Т_з— темп росту заробітної плати; и — залишки.

Ця модель містить два рівняння, одне з них є регресійним, а друге — тотожність. Вона може бути доповнена ще двома регресійними рівняннями, які кількісно описуватимуть залежність темпу росту продуктивності праці, темпу росту заробітної плати від основних чинників.

Так, наприклад:

Ця економетрична модель складається з чотирьох одночасних рівнянь, три перші з яких є регресійними, а четверте — тотожність.

Економетрична модель, яка наведена в прикладі, застосовується для кількісного вимірювання взаємозв'язку на макрорівні, а модель, що наведена в другому прикладі — на мікрорівні. Згадані моделі є найпростішими, бо в них відсутні лагові змінні.

Повернемося до системи рівнянь економетричної моделі, яка наведена в прикладі 7.1. В перше рівняння цієї моделі доцільно ввести лагову змінну х_{t -1}, бо обсяг виробництва продукції в період t залежить від виробництва в попередній період (t -1). Звідси модель запишеться:

А це означає, що залишки u_t, в першому рівнянні будуть залежними від X_t. Така залежність вимагає застосування методів оцінки параметрів моделі, які забезпечили б їх незміщеність за наявності кореляції між u_t і X_t.

Узагальнюючи моделі вище наведених прикладів, можна сказати, що економетрична модель містить сукупність рівнянь, які описують зв'язки між економічними показниками. Взаємозв'язки між змінними можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв'язки реалізуються з деяким рівнем імовірності і описуються регресійними рівняннями. Детерміновані співвідношення виражаються тотожностями і не містять випадкових величин.

Системи одночасних структурних рівнянь, як правило, включають лінійні рівняння. Нелінійність зв'язків здебільшого апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв'язків враховується за допомогою часових лагів, або лагових змінних.

Запишемо економетричну модель на основі системи одночасних рівнянь:

(7.3)

У цій моделі x _{0 t} , = 1. Окремі коефіцієнти a ₁₁…, a_kk, b ₁₀…, b_km можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна змінна не входить до рівняння. Залишки u_st, де s = 1,2,.... k, також можуть дорівнювати нулю, якщо відповідне рівняння є тотожністю. Систему (7.3) можна переписати в матричній формі.

Y = AY + BX + u (7.4)

де Y — вектор ендогенних залежних змінних; Х— матриця екзогенних пояснювальних змінних; u — вектор залишків; А — матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k ´ k; В — матриця коефіцієнтів при змінних Х розміром k ´ m.

Змінні, які містяться в правій частині системи рівнянь, є наперед заданими (вхідними) і називаються екзогенними, а змінні, які містяться в лівій частині, знаходяться в результаті реалізації моделі і називаються ендогенними. Отже, змінна у є ендогенною для одного рівняння і одночасно екзогенною для іншого.

Означення 7.1. Економетрична модель у вигляді (7.4) безпосередньо відображає структуру зв'язків між змінними і тому називається структурною формою економетричної моделі.

Розв'яжемо систему рівнянь (7.3) відносно Y і дістанемо систему виду:

У матричній формі систему цих рівнянь можна переписати так:

Y = RX + v.

Матриця оцінок параметрів R має вигляд:

R = (E – A)^-1 B

де Е – одинична матриця.

Щоб показати справедливість співвідношення, розв’яжемо систему рівнянь (7.4) відносно Y:

Y – AY = BX + u;

(E - A) Y = BX + u;

Y = (E - A)^-1 BX + u.

Враховуючи, що Y = RX + v, R = (E - A)^-1 B.

Вектор залишків v _{1 t} , v _{2 t} ,…, v_kt є лінійною комбінацією залишків u _{1 t} , u _{2 t} ,…, u_kt.

Означення 7.2. Економетрична модель, яка записується cueтемою рівнянь 7.3, називається зведеною формою моделі.

Оскільки економетрична модель складається з системи одночасних рівнянь, то постає запитання: чи можна застосувати для оцінювання параметрів кожного рівняння або системи в цілому ті методи, які були розглянуті в попередніх розділах?

Запишемо просту модель, яка складається з двох рівнянь:

(7.5)

де S_t — споживчі витрати; Y_t — дохід; Z_t — неспоживчі витрати; u_t — залишки; t — період часу.

Перше рівняння моделі характеризує залежність між споживчими витратами і доходом. Друге рівняння є тотожністю, в якій показано, що дохід визначається як сума двох видів витрат — споживчих і неспоживчих.

Нехай в цій моделі залишки u_t є випадковими,

Z і u незалежні. Для застосування 1МНК треба тільки вирішити питання, чи є незалежними Y_t і u_t. Підставивши значення S_t з першого рівняння моделі в друге, дістанемо:

Розв’яжемо його відносно Y_t:

Наявність коефіцієнта при и_t свідчить про те, що між Y_t і и_t існує залежність. Щоб переконатись в цьому, запишемо:

Таким чином, залишки в моделі (7.5) корелюють з пояснювальною змінною Y_t, отже, як і в разі помилок у змінних, безпосереднє застосування до (17.5) 1МНК спричиниться до зміщення оцінок параметрів a ₀ i a ₁ Це зміщення виникає, коли вибіркова сукупність є скінченою. Але оскільки, що оцінки будуть необґрунтованими, то зміщення збережеться і для великих вибіркових сукупностей.

Щоб визначити величину зміщення, запишемо моменти другого порядку:

Тоді оцінки 1МНК параметрів моделі будуть дорівнювати:

(7.6)

Розв’язавши систему рівнянь відносно залежних змінних S_t і Y_t дістанемо:

(7.7)

Знайдемо відхилення від середніх:

(7.8)

Підставивши ці значення у формулу моментів, запишемо:

(7.9)

Тоді:

(7.10)

На основі прийнятих гіпотез, коли і и незалежні, дістанемо:

Додатково вважатимемо, що прямує до деякої константи . Тоді

(7.11)

тобто значення параметра буде завищеним порівняно зі справжнім значенням а ₁, де - величина зміщення.

Проблеми чисельної оцінки параметрів в структурній формі і можливість перетворення структурної форми на зведену тісно пов'язані з поняттям ідентифікації моделі.

Означення. Якщо ніяка лінійна комбінація рівнянь структурної форми не може привести до рівняння, що має ті самі змінні, як і деяке рівняння в структурній формі, то модель буде ідентифікованою.

Для ідентифікації моделей зведена форма визначається однозначно за допомогою співвідношень (7.11). Матриця Е-А завжди невироджена. Умова ідентифікації має перевірятися для кожного рівняння системи.

Необхідна умова ідентифікації системи — справедливість нерівності для кожного рівняння моделі (7.12):

K_s- 1 £ m-m_s, (7.12)

де k _s — кількість залежних ендогенних змінних, які входять в s- те рівняння структурної форми; т — загальна кількість екзогенних змінних моделі; m_s — кількість екзогенних змінних, які входять в s- те рівняння структурної форми моделі.

Число екзогенних змінних, які не входять у s- тe рівняння структурної форми, дорівнює т - m_s.

Означення. Якщо для всіх рівнянь моделі (7.3) співвідношення (7.12) виконується як рівність, то система рівнянь є точно ідентифікованою.

Зауважимо, що проблема ідентифікації стосується структурних параметрів, а не параметрів зведеної форми. Вона може бути сформульована так: чи можна однозначно визначити деякі чи всі елементи матриць А і В, знаючи елементи матриці R?

Запишемо зв'язок між коефіцієнтами структурної і зведеної форм:

або

що можна записати як

де і

Матриця Г має порядок k (r + k) і містить всі структурні коефіцієнти моделі, а матриця W порядку (r + k) k має ранг k.

Якщо перший рядок параметрів матриці Т позначити через a ₁, то перше з рівнянь (7.11) можна записати:

a₁W=0 (7.13)

де a ₁ — перший рядок матриці Т. Елементи матриці W можна вважати відомими, бо елементи матриці R завжди допускають обґрунтовану оцінку, а Е_k — одинична матриця порядку k. Оскільки ранг матриці W дорівнює k, рівняння (16.13) утворюють систему k незалежних рівнянь з k + r невідомими (елементи вектора a ₁). А це означає, що вектор a ₁ не може бути однозначно визначений з цієї системи рівнянь.

Введемо апріорні обмеження, які свідчать про те, що окремі елементи вектора a ₁ дорівнюють нулю і відповідні їм змінні відсутні в першому рівнянні. Ці обмеження можна записати у вигляді

a₁W = 0 (7.14)

де y містить k + r рядків і по одному стовпцю в кожному обмеженні. Наприклад, для обмеження a ₁₂ = 0 і a ₁₄ = a ₁₅ маємо:

Означення. Якщо для всіх рівнянь моделі співвідношення (7.12) виконується як нерівність, то система рівнянь є надідентифікованою.

Оскільки елементи вектора a ₁ задовольняють (7.13) і (7.14), вони мають задовольняти і співвідношення:

Оскільки a ₁ має k + r елементів, для ідентифікації першого рівняння вимагається, щоб ранг матриці (WY) дорівнював k+r -1. Цього достатньо, щоб однозначно визначити коефіцієнти першого рівняння. Оскільки матриця (WY) має k + r рядків і k + r стовпців, де k — число обмежень (тобто число стовпців матриці Y), то необхідною умовою для знаходження всіх коефіцієнтів першого рівняння є s ³ k -1, тобто число апріорних обмежень має бути не меншим, за кількість рівнянь моделі, зменшених на одиницю. Якщо апріорними обмеженнями є обмеження щодо виключення змінних, то необхідна умова ідентифікації певного рівняння така:

число змінних, які виключені з рівняння, має дорівнювати числу рівнянь моделі мінус одиниця.

Альтернативна умова ідентифікації була записана нами в (7.12):

k_s – 1 £ m – m_s,

яка потребує, щоб число виключених із рівняння екзогенних змінних було не меншим, ніж число ендогенних змінних мінус одиниця.

Дата добавления: 2014-01-11