Учет законов распределения случайных параметров

Основной интерес представляют два вопроса:

(А) какими конкретными параметрами следует описывать те или иные случайные процессы в рамках имитационной модели?

(Б) каким образом можно смоделировать получение последовательности случайных чисел, подчиненных заданному закону распределения?

Ответ на вопрос (А) можно сформулировать так.

Можно выделить две большие группы параметров.

Первая группа включает один вид параметров – это время реализации различных событий. А именно, моделируя какой-либо случайный процесс, пытаются свести его описание к "розыгрышу" случайного момента реализации того или иного события. Классическим примером является получение выборки событий, подчиняющейся распределению Пуассона (как в модели, рассмотренной в предыдущем разделе). В таких задачах, вместо, например, попыток исходить из вероятности появления на определенном временном интервале заданного количества событий оперируют случайным интервалам времени между соседними событиями. Благодаря этому, начиная с какого-либо определенного момента времени, можно смоделировать цепочку случайных событий. В случае пуассоновского распределения это вполне строгий прием. В других, особенно, "немарковских" процессах такую схему приходится усложнять, однако принцип остается – случайным параметром считают время появления случайного события.

Вторая группа параметров существенно обширнее. Сугубо условно ее можно охарактеризовать как случайные "невременн ы е" характеристики моделируемой системы и внешней среды. Условность такого определения состоит, в частности, в том, что эти характеристики могут зависеть от времени. В качестве примеров таких параметров можно назвать:

· характеристики технических устройств, которые никогда не бывают строго фиксированными (размеры деталей, производимых на конвейере, напряжение в электросети, мощность двигателя и т.д.);

· параметры законов, по которым могут быть распределены другие случайные параметры. Например, математическое ожидание какой-то нормально распределенной случайной величины может слабо "дрейфовать" по какому-то детерминированному или случайному закону на протяжении моделируемого отрезка жизни системы;

· погодные или иные условия, в которых функционирует моделируемая система (или более общо – параметры внешней среды). Они могут случайно задаваться в начальный момент времени и далее либо фиксироваться на протяжении всего отрезка жизни системы (в рамках имитационного эксперимента), либо слабо меняться по определенному случайному или детерминированному закону, либо меняться со скоростью, соизмеримой со скоростью протекания процессов в самой системе;

· и т.д.

Для любого вида параметров, если закон распределения известен, актуален сформулированный выше вопрос (Б). Его можно детализировать, разбив на два частных вопроса:

(1) как обеспечить, чтобы используемая в модели выборка действительно соответствовала заданному закону и не содержала в себе паразитных эффектов, порождаемых плохим датчиком случайных чисел?

(2) как, имея датчик, например, равномерно распределенных случайных чисел, получить последовательность случайных чисел, распределенных по иному закону?

Конкретный и конструктивный ответ на первый вопрос уже довольно давно получен. Разработано много процедур задания последовательностей псевдослучайных чисел, которые удовлетворяют разнообразным статистическим тестам "на случайность". В частности, такие процедуры встроены во все современные интегрированные среды программирования. Поэтому в лекциях останавливаться на этом вопросе не будем, считая, что в нашем распоряжении есть датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне [0,1]. Детали этого вопроса рассмотрим на семинарах.

Второй частный вопрос мы достаточно подробно рассмотрели в курсе "Теория игр и исследование операций" (повторить!).

Напомним только, что наиболее распространенный способ получения последовательности случайных чисел, распределенных по заданному закону, при заданной последовательности случайных чисел, равномерно распределенных в диапазоне [0,1], основан на методе обратной функции (иногда его называют методом инверсии).

На практике, как правило, приходится использовать модификацию этого метода, основанную на численном описании функции распределения F (х) "разыгрываемого" случайного параметра х (детали рассмотрим на семинарах; см. также лекции по "Теории игр и исследованию операций" - повторить!).

1.5. Возможные показатели, оцениваемые с помощью
имитационной модели. Проверка гипотез

Поскольку применение имитационной модели сводится по существу к статистическому эксперименту, то все расчетные показатели представляют собой выборочные оценки отдельных параметров законов распределения различных случайных величин. В качестве основных групп таких оценок параметров можно принять:

· выборочные оценки математических ожиданий (средние значения) случайных величин. Для условий рассмотренной в п. 1.2 имитационной модели могут рассматриваться, например, такие величины: время пребывания клиента в системе, время работы канала в течение рабочего дня, время отдыха канала, время простоя канала (готов к обслуживанию, но нет клиентов);

· СКО тех же величин;

· коэффициенты корреляции различных величин.

Кроме того могут быть оценены непосредственно выборочные законы распределения тех же величин, например, в форме гистограмм.

Поскольку все выборочные оценки параметров являются случайными величинами, то важным результатом статистических экспериментов являются статистические погрешности расчета параметров.

Техника расчета перечисленных показателей обсуждается в следующих разделах.

В данном же разделе кратко остановимся на задаче проверки гипотез[5].

Часто в ходе имитационного моделирования приходится решать типичную задачу математической статистики – задачу проверки гипотезы, например, о возможном значении того или иного параметра.

В качестве простого примера в рамках рассмотренной выше модели можно рассмотреть такой вопрос: пусть при каких-то характеристиках системы (обобщенно обозначим их через А) математическое ожидание времени обслуживания клиента равно µ ₀ (предполагается, что имитационный эксперимент проведен и в качестве значения µ ₀ принято соответствующее выборочное среднее); уменьшается ли это значение при переходе на характеристики В?

Как обычно формулируются нулевая (Н ₀) и альтернативная (Н ₁) гипотеза. Например:

Н ₀ – математическое ожидание времени обслуживания клиента при характеристиках В равно µ ₀;

Н ₁ – среднее время обслуживания клиента при характеристиках В меньше µ ₀;

Далее проводится эксперимент с характеристиками В и гипотеза Н ₀ либо подтверждается, либо отвергается в пользу гипотезы Н ₁. При этом, учитывая статистический характер выводов, следует понимать, что принятие нулевой гипотезы означает не доказательство ее справедливости, а только то, что на основании полученных данных нельзя сделать уверенного отказа от нее.

При проверке гипотезы можно сделать ошибки двух родов. Ошибка первого рода заключается в отказе от нулевой гипотезы, когда она верна. Ошибка второго рода заключается в принятии нулевой гипотезы, когда она не верна. Обозначим вероятность ошибки первого рода через α. Эту вероятность принято называть уровнем значимости теста.

Критерий принятия решения формируется с помощью некоторой тестовой статистики, имеющей известное распределение. Значение статистики определяется по результатам имитационного моделирования по правилу исключения (правилу отказа от нулевой гипотезы) при заданном значении α.. Если значение статистики попадает в так называемую тестовую область (удовлетворяет неравенствам), то нулевая гипотеза отвергается.

В табл.1 приведены тестовые статистики и правила исключения для случаев:

· проверки равенства математического ожидания случайной величины X некоторому значению µ ₀;

· проверки равенства математических ожиданий двух случайных величин X и Y.

Таблица 1

Тестовые статистики и правила исключения

Описание теста	Тест 1	Тест 2	Тест 3	Тест 4
Нулевая гипотеза:	µX = µ 0	µX = µ 0	µX = µY	µX = µY
Условие проверки гипотезы:	− известно	− неизвестно	, − известны	, − неизвестны
Тестовая статистика:
Распределение тестовой статистики:	Стандартное нормальное	t -Стьюдента	Стандартное нормальное	t -Стьюдента
Число степеней свободы (I)		IX – 1		Ближайшее целое к
Альтернативные гипотезы:	µX > µ 0 µX < µ 0 µX ≠ µ 0	µX > µ 0 µX < µ 0 µX ≠ µ 0	µ > µ 0 µ < µ 0 µ ≠ µ 0	µX > µ 0 µX < µ 0 µX ≠ µ 0
Правила исключения:	Z > Zα Z < − Zα | Z | > Zα/2	t > tα t < − tα | t | > tα/2	Z > Zα Z < − Zα | Z | > Zα/2	t > tα t < − tα | t | > tα/2

Обозначения: I_X, I_Y – объемы выборок для величин X и Y; µ_X, µ_Y – математические ожидания величин X и Y; ,− истинные СКО средних значений величин X и Y при условии, что объемы выборок равны. соответственно I_X и I_Y; ,− выборочные оценки СКО средних значений величин X и Y; α – уровень значимости; t_α/2 – критическое значение статистики Стъюдента c I степенями свободы.

1.6. Схемы проведения имитационных экспериментов.
Статистическая обработка результатов экспериментов

Будем полагать, что в моделируемом случайном процессе можно выделить две фазы:

· начальную (неустановившуюся, переходную, нестационарную);

· стационарную (установившуюся).

Грубо можно выделить три типа процессов:

· длительность начальной фазы мала по сравнению с длительностью всего процесса или той части процесса, которая интересует исследователя. В таких случаях, как правило, интерес представляет только стационарная фаза. Часто для простоты полагают, что процесс потенциально может длиться бесконечно, что упрощает исследования стационарной фазы;

· длительности начальной и стационарной фаз соизмеримы. В этих случаях исследование начальной фазы необходимо – она может представлять интерес сама по себе или, по крайней мере, с точки зрения оценки того ресурса времени, который необходим для выхода системы в стационарную фазу. Стационарная фаза в этих ситуациях также может быть объектом исследований либо сама по себе, либо как составная часть всего процесса;

· стационарная фаза незначительна или отсутствует вообще. В таких случаях указанное деление на фазы лишено смысла и интерес представляют, прежде всего, характеристики процесса в целом.

Напомним, что в имитационном моделировании существенную роль играют следующие понятия

· "наблюдение";

· "прогон модели";

· "момент начала наблюдения (за системой)";

· "длительность одного наблюдения";

· "количество наблюдений".

Под прогоном модели [6] понимают пошаговое воспроизведение одной реализации жизни моделируемой системы или интересующего этапа жизни.

Под наблюдением – часть прогона модели. В частном случае в течение одного прогона могут совершать только одно наблюдение и оно, в частности, может совпадать с прогоном в целом.

Более детальное пояснение этих понятий следует вспомнить по лекциям курса "Теория игр и исследование операций".

Рассмотрим три типовые схемы проведения имитационных экспериментов.

Дата добавления: 2014-01-11