Дополняющие выборки

Идею метода поясним на следующем простом примере, когда каждое значение наблюдаемой случайной переменной х определяется на основании "розыгрыша" одного значения случайной величины R, равномерно распределенной в интервале [0,1].

Пусть у нас есть возможность провести n наблюдений (для простоты будем считать n четным). Покажем, как, не увеличивая числа наблюдений, то есть не увеличивая затрат времени на имитационный эксперимент, можно понизить дисперсию величины .

Поскольку величина (1- R) также является случайной равномерно распределенной, то при соответствующей организации имитационного эксперимента можно получить следующие два ряда значений случайной величины х:

и ,

причем:

· первый ряд получен при использовании набора равномерно распределенных случайных чисел R ₁, R ₂,…, R_{n/ 2}, а второй – чисел (1 - R ₁), (1 - R ₂),…, (1 - R_{n/ 2});

· внутри каждого отдельно взятого ряда, например, любые две величины x ' _i и x ' _j независимы.

Далее эти два ряда будем рассматривать как реализации рядов значений двух различных случайных величин - х ' и x ''.

Обе последовательности и имеют одинаковое математическое ожидание в генеральной совокупности и, следовательно, выборочное среднее случайной величины

может быть использовано вместо искомого выборочного среднего .

Истинная (по генеральной совокупности) дисперсия величины z будет задаваться соотношением:

=

= =

= (14)

Следовательно, в силу специфики "розыгрыша" равномерно распределенных случайных чисел, дисперсия величины z будет меньше дисперсии величины х. Действительно, указанный выше способ "розыгрыша" приводит к жесткой отрицательной корреляции рядов R ₁, R ₂,…, R_{N/ 2} и (1 - R ₁), (1 - R ₂),…, (1 - R_{N/ 2}) (коэффициент корреляции равен -1). Соответственно, ряды и будут отрицательно коррелированны, то есть отрицательной будет ковариация .

Итак, дисперсия величины z как минимум в два раза меньше дисперсии величины х:

(15)

Следовательно, при использовании в качестве наблюдаемой величины z и сохранении общего числа наблюдений (n = n/ 2 + n/ 2), доверительный интервал для среднего по генеральной совокупности значения m_х величины х в худшем случае практически не изменится:

(16)

Если же ковариация будет отрицательной, то следует ожидать заметного сужения интервала.

Рассмотренное преимущество метода дополняющих выборок проявляется прежде всего тогда, когда можно организовать два вычислительных процесса, в которых мы действительно имеем возможность использовать два дополняющих друг друга ряда случайных чисел R ₁, R ₂,…, R_{n/ 2} и (1 - R ₁), (1 - R ₂),…, (1 - R_{n/ 2}), причем эти ряды применяются таким образом, что если одно значение наблюдаемой величины х получено при использовании R_i, то другое обязательно будет получено при использовании (1- R_i). Образно говоря, ряды значений и весьма специфически взаимосогласованы.

Такую взаимосогласованность не всегда возможно обеспечить в моделях реальных сложных систем. Во-первых, наблюдаемая случайная величина х может формироваться на основе "розыгрыша" большого числа случайных чисел и, во-вторых, ход процесса (прогона) на последующем интервале времени может зависеть от того, какие случайные значения реализовались на предыдущем интервале времени. Из-за последнего обстоятельства, например, случайные числа (1 - R_i), (1 - R_{i +1}),…, (1 - R_{n/ 2}), начиная с некоторого i, могут вообще не понадобится, поскольку набор чисел (1 - R ₁),…, (1 - R_{i -1}) может привести к естественному завершению моделируемого процесса.

В таких ситуациях необходима специальная организация имитационного эксперимента, обеспечивающая, хотя бы частично, отрицательную корреляцию между некоторыми подмножествами множества значений наблюдаемой переменной х.

Дата добавления: 2014-01-11