Значимые выборки

Данный метод чаще всего используется в тех случаях, когда рассчитываемый показатель исследуемой системы может быть представлен как определенный интеграл со сложной подынтегральной функцией и сложной областью интегрирования.

Пусть рассчитывается интеграл следующей структуры:

(19)

где g (x), f (x) – заданные функции;

G_x – область интегрирования.

Не обязательно, чтобы функции g (x), f (x) и область G_x были заданы явно, например, аналитически. Процедуры их определения могут быть очень сложными. Кроме того, в реальной задаче интеграл может быть k -кратным (то есть х – это вектор; dx = dx ₁… dx_k).

В (19) функция f (x) может интерпретироваться как плотность вероятности. При необходимости ее нужно перенормировать:

, (19а)

где ; .

Тогда значение интеграла можно интерпретировать как среднее значение функции g (x) при заданном распределении случайной величины х:

.

В частном случае интеграл I действительно (изначально) может отображать среднее значение заданной функции g (x) наблюдаемой случайной переменной х, имеющей известную плотность распределения f (x).

Метод расчета интеграла с помощью имитационного эксперимента относят к классу методов имитационного моделирования, которые принято называть общим термином " метод Монте-Карло ", или иначе – метод статистических испытаний. Можно указать две существенно различные схемы реализации метода.

Для простоты рассмотрим одномерный случай.

В первой схеме разыгрывают последовательность равномерно распределенных в области G_x случайных значений переменной х: х ₁, х ₂, …, х_п. Несмещенная выборочная оценка интеграл в этом случае будет иметь вид:

, (20)

где D G – объем области интегрирования.

Наиболее "естественно" такая схема выглядит в случае, если просто интегрируется функция g (x) - без весового коэффициента f (x). В этом случае в (20) сомножитель f (x_i) исключается (равен 1).

Во второй схеме также разыгрывают последовательность случайных значений переменной х: х ₁, х ₂, …, х_п, однако розыгрыш реализуют иначе – в предположении что случайная переменная х подчиняется распределению с плотностью распределения f (x) – см. п.1.3.

Несмещенная выборочная оценка интеграл в этом случае будет иметь вид:

(21)

Именно эта вторая схема и является реализацией метода значимых выборок.

Суть понятия "значимая выборка" заключается в том, что при определении последовательности значений х ₁, х ₂, …, х_п мы выбираем эти значения не "на равных правах" (на основе равномерного распределения). Выбираются, по преимуществу, "более значимые (более вероятные)" значения – в смысле заданного распределения f (x).

Метод значимых выборок можно обобщить следующим образом.

Пусть необходимо рассчитать интеграл

. (22)

Переопределим подынтегральную функцию следующим образом:

, (23)

где f (x) специально подобранная функция, которую можно интерпретировать как плотность распределения, то есть:

;

g *(x) = g (x) /f (x).

Тем самым мы сводим задачу к предыдущей и можем реализовать схему метода значимых выборок, оперируя "искусственной" плотностью распределения f (x).

По определению

I = E [ g *(x)].

и, следовательно,

(24)

Если подобрать плотность f (x) соответствующим образом, то можно значительно уменьшить дисперсию выборочного среднего (24). Действительно, учтем, что в имитационном эксперименте (24) наблюдаемой является величина g * = g/f, то есть частное от деления двух других случайных коррелированных величин (так как они зависят от общей случайной переменной x). Следовательно, если обеспечить положительную корреляцию величин g и f, то можно значительно понизить дисперсию величины g *. Не приводя точных расчетных формул, покажем это на грубых оценках.

Предположим, что отношение g/f конечно, то есть g ₁* £ g/f £ g ₂*. Тогда

Var [ g *] £ (g ₂* - g ₁*)²/4.

Следовательно, если функция f будет примерно пропорциональна g, разброс отношения g/f будет небольшим, то есть значения g ₁* и g ₂* будут близки. В пределе, если положить f = g/I, где I – истинное значение интеграла, получим g ₁* = g ₂* и, следовательно, Var [ g *] = 0. Естественно, что такой предел недостижим, поскольку значение интеграла априори неизвестно, но можно констатировать, что в методе значимых выборок существует принципиальная возможность значительного уменьшения погрешности расчета интеграла.

4. Некоторые типы систем массового обслуживания
(для проведения имитационных экспериментов)

В данном разделе мы рассмотрим несколько видов простых систем массового обслуживания, которые полезно использовать для отработки "техники" имитационного моделирования и тестирования имитационных моделей.

Предполагается, что разработанная студентом имитационная модель в рамках самостоятельной работы №1 при некоторых значениях параметров должна содержательно совпадать с какой-то простой моделью массового обслуживания из числа рассмотренных ниже (с какой конкретно – выбирает студент при проектировании имитационной модели). Соответственно, критерием правильности имитационной модели должно быть совпадение расчетных значений некоторых показателей со значениями этих же показателей, точно оцениваемых в рамках модели массового обслуживания.

В основном мы рассмотрим простейшие стационарные пуассоновские модели (п.4.1), дополнительно – одну более сложную модель (п. 4.2)[10].

Классификацию СМО будем проводить, пользуясь расширенными обозначениями Кендалла (a/b/c): (d/e/f) (см. п.1.2). Конкретные значения параметров а и b (типы входного и выходного потоков) будем обозначать так:

М – пуассоновский (марковский) поток. Это значит, что временные интервалы D t_з между входными заявками и время обслуживания заявки D t_о в одном канале обслуживания распределены экспоненциально;

D – интервалы D t_з и D t_о имеют фиксированные значения (детерминированы);

E_з – поток Эрланга k -го порядка. Это значит, что интервалы D t_з и D t_о имеют гамма-распределение;

GI – произвольный тип распределения интервалов D t_з;

G – произвольный тип распределения интервалов D t_о.

Для дисциплины очереди (параметр d) будем использовать следующие обозначения:

FCFS – первым пришел первым обслуживаешься;

LCFS – последним пришел первым обслуживаешься;

SIRO – случайный отбор клиентов;

GD – произвольный тип дисциплины.

Дата добавления: 2014-01-11