Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Введение d - функции позволяет дифференцировать разрывные функции. Рассмотрим функцию , которая имеет в точке разрыв первого рода




Свойство, выраженное равенством называют фильтрующим свойством d(t).

при

 

 

Билет15. Выпишем прямое и обратное преобразование Фурье. (1) (2)

В соответствии с приведенной теоремой функция f(t) преобразуется по Фурье если:

1) f(t) – кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция.

2) f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е.

.

Большинство элементарных функций не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, не преобразуются по Фурье. Однако с помощью простых преобразований можно обобщить преобразование Фурье на многие функции. Поступают так. Функцию f(t) умножают на , где с подбирают так, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость. Запишем условие абсолютной интегрируемости для функции:

 
 

Наименьшее из чисел с или предел к которому стремится с, для которых - существует (конечен) называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается Запишем , (3)

Равенство (3) задает одностороннее преобразование Фурье. В соответствии с (2) обратное одностороннее преобразование Фурье задается равенством:

(4)

При переходе от преобразования Фурье к одностороннему преобразованию Фурье уменьшается интервал определения функции f(t), которая теперь определена в области . Такое усечение интервала определения с физической точки зрения оправдывается тем, что в технических системах все процессы имеют начало, момент начала которого можно совмести с точкой . Объединим в одностороннем преобразовании (3) множитель с ядром преобразования : (5)

Равенство (5) задает обобщенное преобразование Фурье. Оно позволяет по вещественной функции f(t) построить комплексную функцию F(с+iw). Найдем преобразование обратное к преобразованию Фурье. Перепишем (4) в виде:

(6)

Умножим (6) на :

, (7) – позволяет по комплексной функции F(c+iw) восстановить вещественную функцию f(t) и называется обратным обобщенным преобразованием Фурье.

Введем комплексную переменную s=c+iw, тогда равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

(9)

Равенства (8) и (9) задают соответственно прямое и обратное преобразование Лапласа. В равенстве (9) пределы интегрирования показывают, что интегрирование ведется вдоль прямой Res=c.

Рис.1

В преобразовании Лапласа функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением.

Символически преобразование Лапласа записывается в виде:

Для обратного преобразования используется соотношение:

Преобразование Лапласа позволяет перейти от оригинала к изображению. Переход от оригинала к изображению позволяет упростить ряд математических операций, в том числе решение линейных дифференциальных уравнений.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 578; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.