КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Билет16.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. Функция называется оригиналом, если: 1) ; 2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция; 3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и,что. (*) Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается . В дальнейшем под изображением будем понимать:. Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа. Теорема 1. Если является оригиналом, то изображение определено в области и является в этой области аналитической функцией. Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображение в этой области является аналитической функцией. продифференцируем по s . Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим . Покажем, что интеграл существует. Оценим Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу . Отсюда следует, что существует в области Теорема доказана. Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа). Если функция является оригиналом, а - изображение функции , то в каждой точке t непрерывности функции Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции . В точках разрыва обратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению. Билет17.1. Линейность преобразований. Теорема 1. Если функция f1(t) и f2(t) являются оригиналами и имеют, соответственно, изображения F1(s) и F2(s), то преобразование Лапласа от соотношения L[k1 f1(t) k2 f2(t)] = k1F1(s) k2 F2(s), где k1, k2- некоторые константы. Доказательство. По определению преобразование Лапласа L[k1 f1(t) k2 f2(t)] = k1F1(s) k2 F2(s). Замечание. Из данной теоремы следует, что преобразование Лапласа линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации их изображений. L[] = - const. 2. Изображение производной. Теорема 2. Если функции f(t) и f'(t) функция f(t) имеет изображение F[s], то преобразование Лапласа производной этой функции равно: L[f(t)] = s F[s] – f(0+) f(0+) = Теорема утверждает, что дифференцирование в вещественной области в комплексной области соответствует операции умножения изображения на s. Доказательство. По определению функция F[s] это: F[s] ] = Покажем, что при с > α. Последовательное применение теоремы 2 позволяет распространить ее на производную любого порядка. ] = Продолжая процесс, можно установить, что для n-ой производной: 3. Смещение в комплексной области. Теорема 5. Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), то Доказательство. По определению преобразование Лапласа . Билет 18 Изображение интеграла. Теорема 3. Если функция f(t)-оригинал и имеет изображение F[s], то интеграл также является оригиналом, причем L[] = F(s)/s + L[] = F(s)/s + /s. Теорема утверждает, что интегрирование в вещественной области в комплексной области соответствует делению изображения на s (с точностью до const). Доказательство. (2-ой части, которая приводит к формуле задания изображения). По определению F(s) = L[ Покажем, что при . Теорема доказана. 4. Изменение масштаба. Теорема 4. Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), и «a» - некоторая положительная константа или положительная переменная независящая от t и s, то преобразование Лапласа: L= График функции отличается от графика функции f(t) наличием масштаба по оси t. Доказательство. По определению F(W) = Положим, имеем Введем , тогда L= .
Билет19. Теорема 6. Если функции f1(t) и f2(t) являются оригиналами и имеют соответственно изображения F1(s) и F2(s), то L[] = F1(s)∙ F2(s) Теорема утверждает, что произведению изображений в вещественной области соответствует интеграл свертки. Доказательство. Обозначим F(s) = L[] По определению F(s) = Верхний предел во внутреннем интеграле можно перенести из т. t в т. ∞, если подынтегральное выражение умножить на 1().
Рис. 1. F(s) = Изменим порядок интегрирования F(s) = Принимая во внимание вид функции 1(t-τ) как функции аргумента t, запишем F(s) = Для второго интеграла введем подстановку Отсюда следует, что ; F(s) = =
Рис. 2. Замечание. Может показаться на первый взгляд, что теорему свертки удобно использовать для вычисления обратного преобразования Лапласа. На самом деле это не так, интеграл свертки приводит к громоздким вычислениям. 7. Изображение запаздывающей функции. Теорема 7. Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то преобразование Лапласа запаздывающей функции: при условии при t < τ. (*) Доказательство. По определению F(s) = Положим , тогда F(s) = Принимая во внимание соотношение при t < τ нижний предел можно перенести из т. τ в т.0. Получим F(s) = отсюда следует, что . Замечание 1. По условию теоремы функция f(t) является оригиналом, следовательно, может быть записана в виде: f(t)·1(t). Запаздывающий оригинал имеет вид: , т. е. запаздывающий оригинал обязательно удовлетворяет условию (*). Замечание 2. При пользовании данной теоремой во избежание ошибок оригинал следует записывать в виде f(t)·1(t). Билет20. Предельный переход по второй независимой переменной. Теорема 8. Пусть а – переменная независящая от t и s. Если функция f(t,а) является оригиналом относительно переменной t и имеет изображение F(s,a), то при условии существования выписанных ниже пределов справедливо равенство: Доказательство. По определению Перейдем к пределу Используя эту теорему, найдем изображение δ - функции. Рассмотрим функцию f(t,a), изображенную на рисунке. L[f(t,a)] = L[f(t- τ)] = где Рассмотрим предел т.о. В соответствии с теоремой 8: L[δ(t)] = Т. о. Получили L[δ(t)] = 1. Для производной δ(t) справедливо соотношение Это равенство формально может быть получено применением теоремы 2. Для запаздывающей δ(t) справедливо соотношение L[δ(t-τ)] = L[(в соответствии с теоремой 7).
Билет21. Дифференцирование в комплексной области. Теорема 9. Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то L Теорема утверждает, что дифференцирование изображений в вещественной области соответствует умножению оригинала на аргумент t. Доказательство. По определению F(s) = Продифференцируем равенство по s. Это возможно, т. к. F(s)- аналитическая функция в области Re s > . F(s) = Перейдем к дифференцированию под знаком интеграла, получим F(s) = L В соответствии с таблицей По теореме 9 L[ L[ Аналогично L[ \
Билет 22. Предельное значение оригинала. Теорема 10. Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), и если произведение s F(s) является аналитической функцией в правой полуплоскости на мнимой оси, то . Доказательство. По теореме изображения производной Перейдем пределу при , данный предел существует, т. к. функция sF(s) – аналитическая в окрестности 0. Получим Переход к пределу под знаком интеграла возможен, т. к. по условию теоремы абсцисса абсолютной сходимости для функции , поэтому - существует. наименьшее α - абсцисса абсолютной сходимости. Re s > , α < 0. Из равенства следует, что . Для функции - не существует. Теорема не справедлива, т. к. функция имеет два полюса на мнимой оси. 11.Начальное значение оригинала. Теорема 11. Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), то при условии, что т. о., что Re s = c. Доказательство. По определению Перейдем к пределу Покажем, что Справедливо равенство Из равенства следует, что
Билет24. Изображение решения линейного дифференциального уравнения имеет вид , где - некоторые числа. Если то дробь неправильная. Поделим числитель на знаменатель Принимая во внимание изображение и ее производной, получим - правильная дробь. Т. о. задача заключается в нахождении обратного преобразования Лапласа от правильной дроби. В соответствии с формулой обратного преобразования Лапласа Для вычисления интеграла воспользуемся леммой Жордана. Рассмотрим замкнутый контур L, изображенный на рисунке. L = Вычеты берутся по всем точкам, лежащим левее прямой Re S = C. Тогда В соответствии с основной теоремой (1) изображение является аналитической функцией в области Re S > , т. к. C > , то все особые точки функции лежат левее прямой Re S = C, т. е. вычеты необходимо брать по всем особым точкам. Рассмотрим два частных случая. 1. B(s) = 0, имеет простые вещественные корни. Обозначим корни уравнения B(s) = 0. Применяя формулу вычетов, найдем 2. Два корня являются мнимыми. Пусть уравнение B(s) = 0, имеет корни корни вещественные и простые. Изображение такого вида имеет место, когда в правой части дифференциального уравнения стоит гармоническая функция: sin или cos. Применяя формулу 3 вычетов, найдем Два первых слагаемых комплексно сопряжены, поэтому при их суммировании мнимые части сокращаются, а вещественные удваиваются. Иногда вместо операции взятия вещественной части удобно взять мнимую часть. Принимая во внимание, что ,запишем Замечание. Полученные формулы можно использовать и в случае комплексных корней уравнения, однако в этом случае возникает необходимость выделять вещественную часть, что часто приводит к громоздким вычислениям. В этом случае целесообразно использовать разложение дроби на сумму простых дробей.
Билет 25. ИЗОБРАЖЕНИЕ ИМПУЛЬСА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.
Рассмотрим функцию
Очевидно, что По теореме линейности Обозначим Пусть . По теореме запаздывания тогда (1) Пример. Найти L[f(t)], если
.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1791; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |