Кореляційні характеристики стаціонарних випадкових сигналів

Кореляційні і спектральні характеристики стаціонарних випадкових сигналів

Теорія стаціонарних випадкових процесів у рамках кореляційної теорії (стаціонарні у широкому розумінні процеси) є найбільш розвиненим напрямом досліджень випадкових процесів. Результати досліджень стаціонарних процесів широко використовуються у різних галузях науки і техніки. Початок практичного використання таких результатів досліджень відносять до 40-років двадцятого століття. Задачам досліджень стаціонарних процесів присвячена значна кількість наукових праць, в тому числі [].

Результати вимірювань характеристик стаціонарних процесів сучасних ІВС в рамках кореляційної теорії є фундаментом досліджень випадкових сигналів [].

Більш детально зупинимось на цьому.

1. Стаціонарний в широкому розумінні випадковий процес повністю задається двовимірною функцією розподілу

,

тобто така функція залежить лише від різниці , незалежно від розташування окремих значень і на числовій вісі часу.

Іншими словами, якщо такі різниці часу розміщені на різних інтервалах часової вісі , то як наведено на рис.

Рис. Графічна ілюстрація різниці моментів часу і на різних інтервалах часової вісі

При двовимірні функції розподілу задовольняють умові

. (2.83)

Маргінальна одновимірна функція розподілу стаціонарного процесу

(2.84)

не залежить від часу, тобто від .

Наведені властивості двовимірної і одновимірної функцій розподілу однозначно визначають для стаціонарного процесу :

· математичне сподівання

; (2.85)

· дисперсію

; (2.86)

· коваріаційну функцію

; (2.87)

· кореляційну функцію

. (2.88)

Функції і також називають відповідно автоковаріаційною і автокореляційною функцією стаціонарного процесу, тобто підтверджують той факт, що функції характеризують один процес.

2. Розглянемо більш детально складний випадок визначення кореляційних функцій послідовності стаціонарних випадкових процесів на прикладі двовимірного векторного стаціонарного процесу.

Для векторного стаціонарного процесу

(2.89)

матриця двовимірних функцій розподілу

(2.90)

повністю визначається наступною матрицею

. (2.91)

Взявши за основу матрицю (2.91) двовимірних функцій розподілу векторного стаціонарного процесу (2.89) отримуємо наступні характеристики:

· вектор математичних сподівань

; (2.92)

· коваріаційну матрицю

; (2.93)

· кореляційну матрицю

; (2.94)

· матрицю коефіцієнтів кореляції як частинний випадок нормованої кореляційної матриці (2.94) у виді

, (2.95)

де елементи матриці визначались по формулам

. (2.96)

При визначенні матриць кореляційних функцій використані:

· автокореляційні функції виду (2.88), тобто

(2.97)

· взаємні кореляційні функції

(2.98)

Стаціонарні компоненти і векторного стаціонарного процесу (2.89) називаються стаціонарно зв’язаними випадковими процесами.

Задачі вимірювання характеристик двовимірного векторного стаціонарного процесу є наступними:

· вимірювання послідовності двовимірних функцій розподілу дає змогу визначити:

а) вектор математичних сподівань (2.92);

б) матрицю коваріаційних функцій (2.93);

в) матрицю кореляційних функцій (2.94) і відповідну нормовану матрицю коефіцієнтів кореляції (2.95).

Дата добавления: 2014-01-11