Вимушені коливання скінченної струни

Лекція №4

(6.16)

Продиференціюємо почленно ряд (6.16) два рази по і :

, (6.17)

. (6.17’)

Ряди (6.17) та (6.17’) мажоруються числовим рядом

. (6.18)

Згідно з нерівністю Бесселя, ряди збігаються, а тоді збігається і ряд (6.18). Збіжність ряду (6.18) забезпечує рівномірну збіжність в області рядів (6.17), (6.17’).

Теорема доведена.

Розглянемо задачу: вивчити процес вимушених коливань однорідної струни довжиною , нерухомо закріплених на кінцях, якщо на неї діє рівномірно розподілена зовнішня сила інтенсивністю , а в початковий момент струна має форму і швидкість .

Для розв’язання поставленої задачі нам необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння

(7.1),
який задовольняє початкові (7.2)
і крайові умови (7.3)

Будемо шукати розв’язок мішаної задачі (7.1)-(7.3) у вигляді (7.4),

де є власними функціями відповідної задачі Штурма-Ліувілля. В нашому випадку (за різних крайових умов одержимо різні власні функції).

Надалі будемо вважати, що ряд (7.4) збігається рівномірно і його можна почленно диференціювати два рази по і . Відзначимо, що ряд (7.4) задовольняє крайові умови. Залишилось функції вибрати таким чином, щоб ряд (7.4) задовольняв рівняння (7.1) і однорідні початкові умови.

Нехай функцію можна розкласти в ряд Фур’є за системою власних функцій . Тоді маємо

(7.5)

Підставивши (7.4) і (7.5) у рівняння (7.1), одержимо (7.6)

Остання рівність можлива тоді і тільки тоді, коли

(7.7)

Для того щоб функція задовольняла однорідні початкові умови, необхідно покласти (7.8)

Інтегруючи задачу Коші (4.8), (4.9), одержуємо

(7.9).

Підставивши (7.5) у (7.9) і у (7.4) одержимо результат у вигляді:

Можна показати, що одержаний ряд буде розв’язком поставленої задачі, якщо неперервна, має неперервні похідні по до 2-го порядку включно і при .

Дата добавления: 2014-01-11