Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вимушені коливання скінченної струни


Лекція №4

(6.16)

Продиференціюємо почленно ряд (6.16) два рази по і :

, (6.17)

. (6.17’)

Ряди (6.17) та (6.17’) мажоруються числовим рядом

. (6.18)

Згідно з нерівністю Бесселя, ряди збігаються, а тоді збігається і ряд (6.18). Збіжність ряду (6.18) забезпечує рівномірну збіжність в області рядів (6.17), (6.17’).

Теорема доведена .

Розглянемо задачу: вивчити процес вимушених коливань однорідної струни довжиною , нерухомо закріплених на кінцях, якщо на неї діє рівномірно розподілена зовнішня сила інтенсивністю , а в початковий момент струна має форму і швидкість .

Для розв’язання поставленої задачі нам необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння

(7.1),
який задовольняє початкові (7.2)
і крайові умови (7.3)

Будемо шукати розв’язок мішаної задачі (7.1)-(7.3) у вигляді (7.4),

де є власними функціями відповідної задачі Штурма-Ліувілля. В нашому випадку (за різних крайових умов одержимо різні власні функції).

Надалі будемо вважати, що ряд (7.4) збігається рівномірно і його можна почленно диференціювати два рази по і . Відзначимо, що ряд (7.4) задовольняє крайові умови. Залишилось функції вибрати таким чином, щоб ряд (7.4) задовольняв рівняння (7.1) і однорідні початкові умови.

Нехай функцію можна розкласти в ряд Фур’є за системою власних функцій . Тоді маємо

(7.5)

Підставивши (7.4) і (7.5) у рівняння (7.1), одержимо (7.6)

Остання рівність можлива тоді і тільки тоді, коли

(7.7)

Для того щоб функція задовольняла однорідні початкові умови, необхідно покласти (7.8)

Інтегруючи задачу Коші (4.8), (4.9), одержуємо

(7.9).

Підставивши (7.5) у (7.9) і у (7.4) одержимо результат у вигляді:

Можна показати, що одержаний ряд буде розв’язком поставленої задачі, якщо неперервна, має неперервні похідні по до 2-го порядку включно і при .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Эталоны единиц физических величин. Класс точности СИ и его обозначение | Єдиність розв’язку мішаних задач.Інтеграл енергії

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 216; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.