Єдиність розв’язку мішаних задач.Інтеграл енергії

Розглянемо мішану задачу: в просторі функцій , знайти розв’язок хвильового рівняння

(8.1), який задовольняє початкові

(8.2)

– поверхня, яка обмежує область , та крайові умови

(8.3)

– зовнішня нормаль до поверхні .

Надалі вважаємо, що

– кусково-гладка поверхня, а

і виконується умова узгодженості

При дослідженні мішаних задач (8.1) - (8.3) ефективним являється так званий метод інтегралів енергії.

Позначимо для спрощення .

Нехай – розв’язок задачі (8.1)-(8.3). Тоді справедливе співвідношення:

(8.4)

Де (8.5)

– та частина поверхні , де і одночасно.

Дійсно, нехай, – довільне число, а , де – область, обмежена кусково-гладкою поверхнею (Рис. 1). Помноживши рівняння (8.1) на і інтегруючи по області одержимо

Рис. 1

Користуючись формулою Гауса - Остроградського, з попередньої рівності маємо:

Переходячи в останній рівності до границі, коли , і та користуючись тим, що і , одержуємо рівність

(8.6)

Із крайової умови (8.3) випливає співвідношення на поверхні :

якщо ; у випадку .

У зв’язку з цим

Підставивши одержаний результат в (8.6) та замінюючи на , одержуємо формулу

Якщо ввести позначення ,

то отримаємо енергетичну рівність

Функція має простий фізичний зміст. Обмежуючись для спрощення міркувань одновимірним випадком, знайдемо вираз для енергії поперечних коливань струни , де – кінетична, а – потенціальна енергії. Кінетична енергія елемента струни , який рухається із швидкістю , рівна , тобто кінетична енергія всієї струни рівна

де – лінійна густина струни. Потенціальна енергія поперечних коливань струни, яка в момент часу має форму , рівна роботі, яку потрібно здійснити, щоб струна перейшла із положення рівноваги в положення .

Нехай . Елемент під дією рівнодіючої сили натягу за час проходить шлях

Робота, яка здійснюється всією струною за час рівна

.

Інтегруючи одержаний результат по від до маємо:

.

Інтеграл представляє роботу, яку потрібно витратити на зміщення кінця . Аналогічний зміст має доданок . Якщо кінці струни нерухомо закріплені, то робота на кінцях струни буде рівна нулеві . Таким чином, в цьому випадку робота, яка здійснюється струною, буде рівна

потенціальній енергії струни в момент з оберненим знаком. Отже, повна енергія струни рівна

Таким чином, функція , визначена формулою (8.5), є повна енергія системи, яка знаходиться в процесі коливання.

Означення. Функція , визначена згідно формули (8.5), називається інтегралом енергії.

Якщо в рівнянні (8.1) , то рівність (8.4) приймає вигляд

тобто повна енергія системи, яка знаходиться в коливному процесі, при відсутності зовнішніх збурень не змінюється з часом (закон збереження енергії).

Використаємо рівність (8.4) для доведення єдиності розв’язку мішаних задач для хвильових рівнянь.

Теорема. Якщо в просторі функцій існує розв’язок мішаної задачі (8.1) - (8.3), то цей розв’язок єдиний.

Доведення. Припустимо, що в розглядуваній області існують два розв’язки мішаної задачі (8.1) - (8.3): і . Тоді функція

(8.7)

буде розв’язком мішаної задачі

(8.8)

(8.9)

(8.10)

Покажемо, що розв’язок задачі (8.8)-(8.10) тотожно рівний нулеві. Дійсно, для розв’язків мішаної задачі (8.8)-(8.10) рівність (8.4) запишеться у вигляді

(8.11)

В силу невід’ємності підінтегральних виразів у (8.5), із (8.11) випливає

для всіх . На підставі (8.9) отже в області і теорема доведена.

Аналогічно доводяться теореми про єдиність розв’язку мішаних задач для хвильових рівнянь у випадку однієї та двох просторових незалежних змінних, тільки потрібно використати інтеграли енергії відповідно для струни та мембрани.

Дата добавления: 2014-01-11