Вільні коливання нескінченної струни

Метод характеристик (Метод поширення хвиль)

Нехай розміри розглядуваної області значно перевищують масштаби досліджуваного явища. Тоді говорять, що відповідне явище відбувається в необмеженій області. Прикладом такої ситуації може бути процес коливання деякого проміжку досить довгої струни, який знаходиться на достатньо великій відстані від її кінців, за невеликий відрізок часу.

Очевидно, що тоді умови на кінцях струни не впливатимуть на цей процес.

В цьому випадку хід хвильового процесу залежатиме від його початкового стану та початкових швидкостей. Таким чином, приходимо до математичної задачі: в області

Розглянемо задачу: в області знайти розв’язок диференціального рівняння

(9.1), який задовольняє початкові умови

(9.2),
де – задана функція класу

Для розв’язання задачі (9.1), (9.2) зведемо рівняння (9.1) до другої канонічної форми. Маємо

Тобто

Інтегруючи останні рівняння, одержуємо

Вводимо нові незалежні змінні:
(9.3)

Підставивши знайдені похідні в рівняння (9.1) і звівши подібні члени, матимемо (9.4)

Якщо припустити, що шуканий розв’язок існує, то, підставивши його в рівняння (9.1), одержимо тотожність. Але тоді і канонічна форма (9.4) також буде тотожністю. Інтегруючи (9.4) по , одержуємо

де – довільна функція. Інтегруючи останню тотожність по , одержуємо

Повертаючись до старих незалежних змінних, згідно (9.3), матимемо

(9.5)

де і довільні функції.

Таким чином, якщо припустити існування розв’язку рівняння (9.1), то він повинен мати вигляд (9.5).

З іншого боку, якщо функції є неперервними разом з похідними до 2-го порядку включно в розглядуваній області, то тоді вони є розв’язками рівняння (9.1) а отже, формула (9.5) дає загальний розв’язок цього рівняння.

Загальний розв’язок рівняння вільних коливань струни вперше одержав Ж.Д’Аламбер в 1747 р.

Визначимо функції і таким чином, щоб розв’язок (9.5) задовольняв початкові умови (9.2). Маємо

або, проінтегрувавши друге рівняння, одержимо

де фіксована точка, тобто

Підставивши знайдені функції в (9.5), приходимо до формули Д’Аламбера

(9.6)

яку в 1748 р. одержав Л.Ейлер.

Покажемо, що якщо

то формула Д’Аламбера (9.6) є розв’язком задачі Коші (9.1), (10.2) і цим самим доведемо його існування.

Маємо

Підставивши знайдені похідні в рівняння (9.1), одержимо

а підстановка функції (9.6) в початкові умови (9.2) дає

тобто (9.6) є розв’язком задачі Коші (9.1), (9.2). Із побудови розв’язку (9.6) випливає, що він єдиний.

Дата добавления: 2014-01-11