Количественная оценка степеней свободы и числа связей

Количественный анализ

Порядок и процедуры кинематического анализа

В ходе кинематического анализа расчётной схемы сооружения даются ответы на два главных вопроса:

1) достаточно ли суммарное число внешних и внутренних связей в системе для того, чтобы при правильном их размещении обеспечить её геометрическую неизменяемость?

2) правильно ли расставлены связи?

Следует обратить внимание на то, что первый вопрос ещё не предполагает изучения правильности расстановки связей – он нацелен на оценку их количества.

В связи с этим в кинематическом анализе выделяются два последовательных этапа:

1) количественный анализ;

2) качественный (структурный) анализ.

К о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з – это исследование расчётной схемы сооружения, заключающееся в оценке баланса (соотношения) суммарного числа степеней свободы дисков системы до наложения на них внешних и внутренних связей (т.е. несвязанных дисков) и суммарного числа внешних и внутренних связей системы, в пересчёте на связи первого типа.

Указанный пересчёт объясняется тем, что именно связь первого типа способна устранять, при правильном её использовании, одно возможное взаимное перемещение (линейное или угловое) соединяемых дисков, т.е. одну степень свободы.

Суммарное число степеней свободы несвязанных дисков системы обозначим , а суммарное число условных (в пересчёте) связей первого типа – n _c.

Для правильной оценки соотношения между и n _c (больше, меньше, равны) необходимо, изучив расчётную схему сооружения, заранее строго определить, какие элементы системы считать дисками, а какие рассматривать как связи. При этом имеет смысл учитывать возможности, проиллюстрированные выше на рис. 1.25. Один и тот же элемент не может одновременно быть и диском, и связью; связи должны налагаться только на диски, но не друг на друга.

После номинации дисков выполняется формальное выявление внешних и внутренних связей в системе по следующему алгоритму:

1) определяются возможные комбинации соединений дисков друг с другом, исключая диск «земля» (например, четыре диска системы D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ могут иметь соединения в следующих шести сочетаниях: D ₁ D ₂ , D ₁ D ₃ , D ₁ D ₄ , D ₂ D ₃ , D ₂ D ₄ , D ₃ D ₄ );

2) каждая комбинация проверяется на предмет реального существования предсказанных в главе 1.3 возможных соединений соответствующих дисков, и в случае наличия связей (одной или нескольких) определяются их типы;

3) дополнительно для всех дисков проверяется наличие связей между точками одного и того же диска (примеры – на рис. 1.29: связь 3-го типа (припайка) в узле А диска D ₁ (криволинейного стержня с замкнутой осью), связь 2-го типа (шарнир) в диске-стержне D ₂ и связь АВ 1-го типа (линейная) в диске D ₃ ;

4) во всех точках, где имеются соединения с диском «земля» (опоры), т.е. внешние связи, оцениваются их типы и подсчитывается число эквивалентных им связей 1-го типа.

Число дисков системы (без учёта диска «земля») обозначим D, число внутренних связей 1-го типа – С, 2-го типа (шарниров в плоских системах) – Н, 3-го типа (припаек) – П, суммарное число внешних связей (с диском «земля»), пересчитанных на связи 1-го типа – С _о.

Рис. 1.29

Рассмотрим примеры реализации вышеприведённого алгоритма, учитывая, что для одной и той же системы возможны различные варианты представления о её дисках и связях.

Например, систему с расчётной схемой по рис.1.30, а, можно считать состоящей из шести дисков (D ₁ , D ₂ ,…, D ₆ на рис.1.30, б), тогда внутренними связями являются три припайки П ₁ , П ₂ , П ₃ между дисками D ₁ D ₂ , D ₂ D ₅ , D ₃ D ₄ и три шарнира Н ₁ , Н ₂ , Н ₃ между дисками D ₁ D ₆ , D ₅ D ₆ , D ₂ D ₃ (или D ₅ D ₃ – альтернативно, но не одновременно с D ₂ D ₃ !, так как диски D ₂ и D ₅ соединены жёстко, и в соединении с диском D ₃ формально выступают как единый диск, учитываемый только один раз). Соединения с «землей» имеются в точках А, В и G, где расположены соответственно неподвижная защемляющая опора (внешняя связь 3-го типа), подвижная шарнирная опора (внешняя связь 1-го типа) и неподвижная шарнирная опора (внешняя связь 2-го типа). Суммарное число эквивалентных связей первого типа равно 3 + 1 + 2 = 6.

Рис. 1.30

Во втором варианте (см. рис.1.30, в) П-образная левая часть системы состоящая из трех стержней, жёстко соединенных в узлах Р и S, считается диском D ₁ (эту часть также можно рассматривать просто как диск в виде стержня с ломаной осью). Аналогично назначен диск D ₂ . Горизонтальный элемент KL рассматривается как диск D ₃ . Формально к дискам отнесен также опорный стержень в точке В, обозначенный как диск D ₄. Четыре диска соединяются друг с другом только шарнирами – их четыре (Н ₃ и Н ₄ – соответственно между дисками D ₁ D ₂ , D ₁ D ₄ и два – Н ₁ и Н ₂ между D ₁ D ₃). Опоры в точках А и G – такие же, как в первом варианте, а посредине диск D ₄ имеет опорный шарнир в точке В’. Суммарно опоры эквивалентны 3 + 2 + 2 = 7 связям первого типа.

В третьем варианте (см. рис. 1.30, г) рассматривается только один диск D ₁. Поэтому внутренних связей, соединяющих его с другими дисками, нет. Стержень KL, схема которого точно соответствует определению линейной связи согласно рис. 1.12, учитывается как внутренняя связь 1-го типа между точками K и L одного диска (в соответствии с п. 3 приведённого выше алгоритма). Правый стержень с ломаной осью отнесён к внешним связям в качестве условной линейной связи с осью SG (по аналогии с рис. 1.25, б). Внешние связи (опоры) в точках А и В – такие же, как в первом варианте. Суммарное число эквивалентных внешних связей 1-го типа: 3 + 2 + 1 = 5.

Таким образом, в трёх рассмотренных вариантах номинации дисков и связей имеем:

– по рис. 1.30, б: D = 6, П = 3, H = 3, C = 0, C _o = 6;

– по рис. 1.30, в: D = 4, П = 0, H = 4, C = 0, C _o = 7;

– по рис. 1.30, г: D = 1, П = 0, H = 0, C = 1, C _o = 5.

Возможны и иные варианты представления о дисках и связях той же системы.

В некоторых точках (узлах) могут соединяться шарнирно или жёстко более двух дисков (рис. 1.31, а, б соответственно).

Шарнирный узел (см. рис. 1.31, а) по существу представляет собой попарное соединение дисков бесконечно близко расположенными шарнирами (см. рис. 1.31, в), условно изображаемыми с общим центром (осью вращения). Поэтому шарнир, соединяющий более двух дисков, называется кратным (или сложным). Очевидно, что в нем объединены n_{D , уз} – 1 обычных (иногда говорят – простых) цилиндрических шарниров; здесь n_{D , уз} – количество дисков, соединяемых в узле кратным шарниром. В случае, показанном на рис. 1.31, а, соединение дисков в узле учитывается как три простых шарнира (Н _уз = n_{D , уз} – 1 = 4 – 1 = 3). Заметим, что если какой-либо стержень из сходящихся в шарнирном узле отнесён не к дискам, а к связям 1-го типа, то при подсчете кратности шарнира он, конечно, не учитывается.

Рис. 1.31

Аналогично кратной, т.е. соединяющей более двух дисков, может быть и припайка (см. рис. 1.31, б), эквивалентная также n_{D , уз} – 1 простым припайкам (двум в узле, изображённом на рис. 1.31, б: П _уз = n_{D , уз} – 1 = 3 – 1 = 2).

Очевидно, что в случае, приведённом на рис. 1.31, г, несмотря на наличие трёх сходящихся в узле стержней, припайка не является кратной, так как два из трёх стержней заранее объединены в диск D ₁. Если какой-либо из стержней, жёстко соединённых в узле, принят в качестве связи 3-го типа (в соответствии с рис. 18, в), то он не учитывается в n_{D , уз} .

Расчётная схема сооружения может содержать узлы, в которых осуществляется одновременное соединение дисков с помощью шарниров и припаек (например, узел S на рис. 1.30, б), в том числе и кратных. Такие узлы, в отличие от тех, где соединение дисков только шарнирное (шарнирные узлы) или только жёсткое (жёсткие узлы), называются узлами с комбинированным соединением дисков. Для правильной оценки числа эквивалентных простых шарниров и припаек требуется аккуратная оценка кинематических свойств комбинированного соединения. Например, в узле, изображённом на рис. 1.32, а, жёстко соединяются три диска-стержня D ₁, D ₂ и D ₃ (соответственно кратная припайка эквивалентна 2 простым), а кратный шарнир связывает четыре диска – D ₄ , D ₅ , D ₆ и объединённый диск D _I = D ₁ + D ₂ + D ₃ и поэтому эквивалентен трём простым; следовательно, П _уз = 2, Н _уз = 3.

Рис.1.32

В комбинированном узле, показанном на рис.1.32, б, соединяются семь дисков с помощью двух простых и одной кратной припайки, эквивалентной двум простым, а также кратного шарнира, связывающего три укрупнённых диска D ₁ + D ₂ , D ₆ + D ₇ и D ₃ + D ₄ + D ₅. В итоге для узла имеем П _уз = 4, Н _уз = 2.

Замечание, не имеющее прямого отношения к кинематическому анализу,но полезное в дальнейшем:

Особенности соединения нескольких элементов в шарнирном узле реальной конструкции определяются конкретным инженерным воплощением узла: возможно соосное объединение элементов на общем цилиндрическом вкладыше – в этом случае кратный шарнир в расчётной схеме появляется естественным образом; могут применяться также различные сочетания шарнирных соединений с небольшими расстояниями между осями шарниров – при формировании расчётной схемы конструкции эти малые несоосности могут игнорироваться, что опять же приводит к возникновению кратного шарнира. Каким образом появился кратный шарнир в расчётной схеме сооружения, для кинематического анализа не имеет никакого значения. Однако на стадии расчёта конструкции целесообразно конкретизировать соединение дисков в узле, обозначив определённую комбинацию простых шарниров – это позволяет составить чёткое представление о реакциях связей и о том, к каким именно соединяемым дискам те или иные из них должны быть приложены.

Разные варианты внутренней структуры сложного шарнирного узла отличаются лишь «игрой сил» в самом узле, т.е. различными комбинациями реакций связей простых шарниров. Для реальной конструкции это, несомненно, имеет значение в области узла, малой в сравнении с размерами элементов конструкции, но за пределами этой области особенности внутреннего распределения сил в ней практически не влияют на усилия в системе. Поэтому если сведения о конкретном конструктивном решении узла отсутствуют, то можно задать в нем любое соединение дисков простыми шарнирами, выбрав наиболее удобный из нескольких вариантов. Например, альтернативой модели, приведённой на рис.1.31, в, является прикрепление диска D ₄ шарниром не к D ₁ , а к D ₂ или D ₃ (возможны и другие комбинации соединений).

После того, как выполнено разделение элементов расчётной схемы сооружения на диски и связи (NB: не должно остаться ни одного элемента, не отнесённого к одной или другой категории!), выполняется вычисление и последующее сопоставление n _ и n _c. Суммарное число степеней свободы несвязанных дисков определяется исходя из того, что каждый жёсткий пространственный диск, как установлено выше, обладает шестью степенями свободы, а плоский – тремя. Тогда если, как принято ранее, число дисков системы – D, имеем

При выводе формулы для суммарного числа внешних и внутренних связей n _c (в пересчёте на связи 1-го типа) учитывается, что пространственная припайка эквивалентна шести простым связям (плоская – трём), шарниры плоских систем (цилиндрические и поступательные) учитываются как две связи 1-го типа, шаровой шарнир в пространственной системе – как три:

При использовании формулы (2) для пространственной системы все соединения, не подпадающие под признаки припайки, шарового шарнира или связи 1-го типа, непосредственно представляются как комбинации соответствующего числа простых связей.

Дата добавления: 2014-01-11