Принцип суперпозиции. Работа электростатического поля

Напряженность и потенциал.

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле.

Мы будем рассматривать электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называются электростатическими.

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд – такой заряд, который своим действием не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле).

Если в поле, создаваемое зарядом q, поместить пробный заряд q₀, то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона (8.1.2.), пропорциональна пробному заряду q₀. Поэтому отношение F/q₀ не зависит от q₀ и характеризует электрическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.

Определение: Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

. (8.2.1.)

Как следует из формул (8.2.1.) и (8.1.1.), напряженность поля точечного заряда в вакууме

или (8.2.2.)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор направлен к заряду (рис.2).

Рис.2.

Из формулы (8.2.1.) следует, что единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл):

Определение: 1Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности.

Определение: Линии напряженности - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора .

Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Т.к. в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются.

Определение: Однородное поле - поле, в котором вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению и линии напряженности параллельны вектору напряженности.

Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис.3,а), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис.3,б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электрического поля широко применяется в электротехнике.

а) б)

Рис.3.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис.4) перемещается другой точечный заряд q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы на элементарном перемещении равна

Рис.4.

Так как то

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2

(8.2.3.)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными.

Из формулы (8.2.3.) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

(8.2.4.)

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу (8.2.3.) сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q₀ в начальной и конечной точках поля заряда q:

(8.2.5.)

откуда следует, что потенциальная энергия заряда в поле заряда q равна .

Она, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r) потенциальная энергия обращается в нуль (U=0), то С=0 и потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

. (8.2.6.)

Для одноименных зарядов q>0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов q<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов (q₁, q₂,..., q), то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

. (8.2.7.)

Из формул (8.2.6.) и (8.2.7.) вытекает, что отношение не зависит от и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

. (8.2.8.)

Определение: Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формул (8.2.8.) и (8.2.6.) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен

. (8.2.9.)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

, (8.2.10.)

т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Определение: Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Если перемещать заряд из произвольной точки за пределы поля, т.е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля, согласно (8.2.10),

, откуда . (8.2.11.)

Определение: Потенциал - физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.

Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Из выражения (8.2.8.) следует, что единица потенциала - вольт (В).

Определение: Один вольт есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В=1 Дж/Кл).

Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная ранее единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 /()=1 Дж/()= 1 В/м.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила , действующая со стороны поля на пробный заряд , равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов :

. (8.2.12.)

и , где - напряженность результирующего поля, а - напряженность поля, создаваемого зарядом . Подставляя последние выражения в (8.2.12.), получим

. (8.2.13.)

Формула (8.2.13.) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Для потенциала также справедлив принцип суперпозиции. Из формул (8.2.7.) и (8.2.8.) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

.

Дата добавления: 2014-01-11