Связь потенциала с напряженностью электростатического поля

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х₂-х₁=dx, равна

.

Та же работа равна

.

Приравняв оба выражения, можем записать

(8.3.1.)

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор :

где - единичные векторы координатных осей х,y,z.

Из определения градиента следует, что

или (8.3.2.)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

По любому замкнутому контуру работа электрического поля при перемещении заряда равна нулю:

, где интеграл называется – циркуляцией вектора напряженности. Силовое поле, обладающим свойством, что циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна нулю, называется потенциальным полем. Из этого следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно формуле . Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Докажем, что линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Рис.5

Работа электрического поля по перемещению электрического заряда вдоль эквипотенциальной поверхности (Рис.5):

,

т.к. поверхность эквипотенциальная, то ,

следовательно .

С другой стороны (по определению работы силы):

.

Тогда можно сделать вывод: или , где угол α – угол между действующей электрической силой F и перемещением l (вдоль эквипотенциальной поверхности).

Следовательно, линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Дата добавления: 2014-01-11