Закон редких явлений. Распределение Пуассона

Согласно теореме о повторении опытов (теорема Бернулли)

Лекция 11 от 23.11.11

Нормальный закон распределения. Закон Гаусса

Главная особенность этого закона в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х. Нормальный закон распределения случайной величины Х характеризуется плотностью вероятности вида:

F(x)=(1/E*(2pi)^-2)e, где m и δ-параметры.

График функции f(x)

m x

Вычислим мат. Ожидание:

mx=M[X]=(1/E*(2pi)^-2) m=mx

Вычислим дисперсию

Dx=D[X]= (1/E*(2pi)^-2)∫(от -∞ до +∞)(х-mx)dx

Вероятность попадания нормально распр. Случ. Величины. На заданный участок. Функция Лапласса

Функция распределения для закона Гаусса имеет вид:

F[x]=P[X<x]

Принято обозначать нормальный закон распределения случайной величины Х через характеристики mδ²

X~N(m,δ^2)

Рассмотрим неопределенный интеграл

I=∫e^{-(x-m)^2/ mδ^2}dx и сделаем подстановку.

x-m/r=t

dx=δdt

Этот неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому функция распределения f(x) может быть записана следующим образом:

F(x)=1/δ(2pi)^-2)*∫e^{-t^2/2}dt (1)

Необходимо вычислить табличным образом функцию вида (1), рассматривая при этом функцию

Ф(Z)=1/(2pi)^-2)*∫(от -∞ до Z) e^t²/2dt (2)

Функция Ф(Z) – функция Лапласа или интеграл вероятностей

Ф(Z)=1/(2pi)^-2)*∫(от ∞ до Z) e^t²/2dt

То Ф(Z) есть функция распределения нормально распределенной случайной величины < c нулевым М.О. m=0 и единичной дисперсией δ²=1

P[Z<z]=Ф[Z]

Нормальное распределение с параметрами m=0 и δ²=1 называют стандартным нормальным распределением и обозначают

N(0,1)

Оно описывается функцией распределения, представляющую собой функцию Лапласа

Рассмотрим случайную величину.

Z=(X-m)/δ, где Х~N(m,δ^2)

Очевидно, что Z нормально распределен.

Легко показать, что она имеет нулевое М.О. и единичную дисперсию

Следовательно, она описывается функцией распределения вида 2-функций Лапласа.

Найдем связь между функциями распределения случайной величины X и Z. Из формулы (1) и (2) следует, что функция нормальной случайной величины Х может быть выражена через функцию Лапласа.

F(x)=Ф(Z)|_z=x-m/δ=Ф(x-m/δ), где m=M[X], δ²=D[X] (3)

Из (3) следует, что вероятность попадания нормального распределения случайной величины в интервале [α;β] может быть выражен через функцию Лапласа:

p(α<x<β)=F(β)-F(α)=Ф(β-m/δ)-Ф(α-m/δ)

Основные свойства функции Лапласа:

Ф(-Z)=1-Ф(Z) 1/2

Ф(0)=1/2

Ф(-∞)=0

Ф(+∞)=1 0 Z

Рассмотрим вероятность случ. величины Х на участок m-e<x<m+e

Это неравенство эквивалентно |x-m|<e

m-e m m+e

имеем P(m-e<x<m+e)=P(|x-m|<e)=2Ф(e/δ)-1

Лекция 12 от 30.11.11.

Дата добавления: 2014-01-11