II. Элементы аналитической геометрии

Введение.

Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки является метод координат, позволяющий определять положение точки в некотором пространстве с помощью чисел-координат этой точки.

Так как в геометрии ее объекты (линии, поверхности, фигуры) определяются как множества точек, обладающих некоторым общим геометрическим свойством, то метод координат позволил описывать эти объекты, используя связи между числами – координатами точек объектов, т.е. средствами алгебры.

1. Плоская линия и ее уравнение в .

В геометрии плоская линия определяется как множество точек плоскости (геометрическое место точек), обладающих некоторым общим для всех точек линии свойством. Например, окружность радиуса есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние от некоторой точки этой плоскости.

Введем аналитическое определение плоской линии. Пусть на плоскости введена декартова система координат. Выберем на этой плоскости произвольную точку . Рассмотрим вместе со множеством точек координатной плоскости множество уравнений вида . Будем говорить, что числа удовлетворяют уравнению , если, и ему не удовлетворяют, если . Например, числа удовлетворяют уравнению и не удовлетворяют уравнению .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Уравнение , связывающие между собой переменные и , называют уравнением плоской линии в выбранной системе координат, если координаты и любой точки этой линии ему удовлетворяют, а координаты всех точек, не лежащих на ней, ему не удовлетворяют.

Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению , будем называть плоской линией (плоской кривой).

Заметим, что множество точек может содержать сколько угодно точек быть конечным или даже оказаться пустым. Например, уравнению удовлетворяют координаты бесконечного множества точек; уравнению удовлетворяют координаты только одной точки ; уравнению не удовлетворяют координаты всех точек плоскости. В первом случае плоская кривая является обычной кривой (парабола); во втором – кривая представляет собой точку; в третьем – мнимую плоскую кривую (мнимая окружность).

Из определения 1.1 следует, что любое уравнение вида и общем случае определяет на координатной плоскости некоторую линию. Для ее построения можно воспользоваться обычным методом точек.

ПРИМЕР 1.1. Построить линию, заданную уравнением .

Придавая переменной различные числовые значения и вычисляя соответствующие значения , построим таблицу:

					…
					…

Введем на плоскости декартову систему координат и построим на этой плоскости соответствующие точки с координатами , . Соединяя построенные точки линией, получим искомую кривую (рис.1).

В аналитической геометрии из бесконечного множества уравнений наиболее полно изучаются так называемые алгебраические уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Уравнение называется алгебраическим, если выражение есть сумма конечного числа слагаемых вида , где - целые неотрицательные числа, - действительное число. При этом наибольшая из сумм степеней называется степенью уравнения.

Например, уравнения есть алгебраические уравнения соответственно первой и второй степеней. Уравнение алгебраическим не является.

Уравнение , где - действительные числа, является наиболее общим алгебраическим уравнением первой степени. Уравнение - общее алгебраическое уравнение второй степени.

Задача изучения свойств линии по известному ее уравнению является одной из главных задачи аналитической геометрии. Второй центральной задачей этой науки является решение обратной задачи, т.е. задачи определения уравнения линии, если известны все ее точки. Например, непосредственно из определения окружности с центром в начале координат (рис.2) следует, что , если произвольная точка плоскости принадлежит окружности, и , если точка не принадлежит окружности. Следовательно, , если или , если . Тогда, согласно определению 1.1, уравнение есть уравнение искомой окружности.

2. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

Положение прямой на координатной плоскости вполне определяется заданием:

1) любых двух точек;

2) точки и вектора, параллельного ;

3) точки и вектора, перпендикулярного ;

4) углового коэффициента и отрезка, отсекаемого прямой от оси ;

5) других величин.

Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из перечисленных способов ее задания.

3. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

Пусть на плоскости дана точка и вектор (рис.3). Требуется определить уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно вектору (вектор ^называется нормальным вектором прямой ).

Выберем на плоскости произвольную точку и построим вектор .

Рассмотрим два случая:

1) пусть точка . Тогда ^Þили

; (1)

2) если точка , то векторы и не перпендикулярны. Следовательно, или . Из 1) и 2) и определения 1.1 уравнения плоской линии следует, что уравнение (1) является уравнением искомой прямой .

Уравнение (1) называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору .

ПРИМЕР2.1. Найти уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Уравнение прямой будем искать в виде . По условию . Тогда для получим .

4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Пусть на плоскости дана точка и вектор (рис.4).

	y
		M

	M0

Требуется определить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору (вектор ïïназывается направляющим вектором прямой ).

Выберем на плоскости произвольную точку и построим вектор .

Рассмотрим два случая:

1) пусть точка . Тогда. Следовательно, векторы и коллинеарны. Итак, , где -некоторое действительной число. Тогда Û

; (2)

2) пусть точка . Тогда Û ни при каком . Отсюда и . Из 1) и 2) и определения 1.1 уравнения линии следует, что уравнение (2) является уравнением искомой прямой . Уравнение (2) называется уравнением прямой по точке и направляющему вектору . Его также называют уравнением прямой.

Замечание. Если прямая проходит через точку и параллельна оси , то направляющий вектор также параллелен этой оси. Следовательно, . Хотя его проекция , уравнение этой прямой условились записывать в канонической форме, т.е. . Последнее уравнение считается другой формой записи уравнения этой прямой . Аналогично каноническое уравнение вида означает другую форму записи уравнения прямой , проходящей через точку параллельно оси .

Дата добавления: 2014-01-11