Парабола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Выберем на плоскости произвольную точку и произвольную прямую , не проходящую через эту точку. Назовем точку фокусом, а прямую директрисой. Обозначим расстояние от точки до прямой через и построим систему координат так, как это изображено на рис.16.

Тогда фокус будет расположен в точке , а директриса будет иметь уравнение .

Пусть точка произвольная точка плоскости . Предположим, что точка лежит на параболе. Тогда, по определению этой кривой , где ^. Точка по построению имеет координаты . Следовательно, равенство запишется в виде

.

Освобождаясь от иррациональности, получим

. (20)

Пусть точка не лежит на параболе. Тогда . Следовательно, и .

Итак, согласно определению 1.1 уравнения плоской кривой уравнение (20) является уравнением искомой параболы. Оно называется каноническим уравнением параболы, а число называется ее параметром.

Определим форму параболы. В уравнение (20) переменная входит в четной степени. Следовательно, кривая симметрична относительно оси . При . Значит, кривая проходит через начало координат. При , Æ, так как по условию . При существует, причем при увеличении переменная также увеличивается. По полученным данным построим параболу (рис.16).

Терминология. Точка называется фокусом параболы. Точка называется вершиной параболы. Прямая называется директрисой. Ось, на которой расположен фокус, называется фокальной осью. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Дополнение. Если фокальную ось параболы принять за ось , то уравнение параболы запишется в виде

. (21)

ПРИМЕР 11.1. Найти фокус и уравнение директрисы параболы .

Решение. Так как каноническое уравнение параболы имеет вид , то . Следовательно, , а . Фокус параболы расположен в точке . Директриса имеет уравнение .

Дата добавления: 2014-01-11