Общее уравнение плоскости. Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

. (36)

Покажем, что уравнение (36) при любых допустимых значениях коэффициентов всегда является уравнением некоторой плоскости.

По условию по крайней мере один из коэффициентов или отличен от нуля. Тогда, предположив для определенности, что , перепишем уравнение (36) в форме

.

Сравнивая это уравнение с уравнением плоскости (34), найдем, что оно является уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор . Следовательно, уравнение (36) является уравнением некоторой плоскости при любых допустимых значениях коэффициентов .

Итак, всякой плоскости в пространстве соответствует алгебраическое уравнение первой степени относительно трех переменных и всякому уравнению вида (36) соответствует плоскость. Уравнение (36) называется общим уравнением плоскости. Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения:

1) . Тогда плоскость проходит через начало координат, так как точка принадлежит этой плоскости при любых значениях и ;

2) . Уравнение плоскости запишется в виде . Так как старшие коэффициенты и являются проекциями нормального к плоскости вектора , то вектор перпендикулярен этой плоскости. Но вектор перпендикулярен и координатной оси . Следовательно, рассматриваемая плоскость параллельна оси ;

3) если , то плоскость параллельна оси (доказать самостоятельно);

4) если , то плоскость проходит через начало координат и параллельна оси . Следовательно, плоскость проходит через ось ;

5) если , то Ûсовпадает с плоскостью .

ПРИМЕР 18.1. Определить, перпендикулярен ли вектор плоскости .

Решение. Коэффициенты являются проекциями нормального вектора плоскости. Тогда, если вектор перпендикулярен заданной плоскости, то векторы и дожны быть коллинеарными. Согласно коллинеарности двух векторов проекции этих векторов должны быть иррациональными между собой. Но , следовательно, вектор не перпендикулярен данной плоскости.

Дата добавления: 2014-01-11