Поверхности второго порядка. В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

, (51)

где - действительно числа, причем старшие коэффициенты не равны нулю одновременно.

Поверхность, определяемая уравнением (51), называется поверхностью второго порядка.

Пусть некоторая поверхность дана как множество точек пространства , обладающих определенным свойством, и требуется найти ее уравнение. Например, дана сфера как множество всех точек пространства , равноудаленных от заданной точки этого пространства.

Для вывода уравнения этой сферы в декартовой системе координат обозначим через координаты заданной точки (центр сферы), а через - координаты произвольной точки пространства .

Построим вектор и рассмотрим два слачая:

1) если точка принадлежит сфере, то , где - радиус сферы. Тогда

; (52)

2) если точка не принадлежит сфере, то . Следовательно, для таких не выполняется и уравнение (52).

Тогда из случаев 1) и 2) и определения (15.1) уравнения поверхности следует, что (52) является уравнением сферы радиуса с центром в точке .

Уравнение (52) является алгебраическим уравнением второй степени. Следовательно, сфера является представителем поверхностей второго порядка.

Дата добавления: 2014-01-11