Цилиндрические поверхнсоти

Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки линии , называется цилиндрической поверхностью (рис.29).

	Рис.29

При этом линия называется направляющей, а прямые, проходящие через точки кривой параллельно прямой , называются ее образующими.

Пусть на плоскости дана своим уравнением некоторая линия (рис.30).

Рис.30

Проведем через каждую точку кривой прямую параллельно оси . Тогда получим цилиндрическую поверхность с образующими, парллельными этой оси. Докажем, что уравнение

(53)

будет уравнением этой плоскости.

Выберем на кривой произвольную точку и проведем через нее образующую парллельно оси . Выберем на этой образующей произвольную точку (рис.30). Тогда точки и будут иметь одни и те же координтаы и . Следовательно, уравнению (53), не содержащему переменную , будут удовлетворять координаты обеих точек. А это значит, что уравнение , не содержащее переменной , является уравнением цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси . Аналогично доказывается, что уравнения и , не содержащие переменные и соответственно, определяют цилиндрические поверхности с образующими, парллельными осям и соответственно. Следовательно, и алгебраичесике уравнения (51), не содержащие по одной из переменных, определяют цилиндрические поверхности, образующие которых направлены вдоль соответстующих осей координат. Например, уравнение в пространстве трех переменных определяет круговой цилиндр с образующими, парллельными оси .

	Рис.31

Заметим, что название цилиндрической поверхности определяется названием направляющей. Например, если направляющая дана уравнением , то кривая является параболой с осью симметрии . Тогда это же уравнение в пространстве определяет параболический цилиндр с образующими, парллельными оси (рис.31).

Аналогично уравнение определяет эллиптический цилиндр с образующими, параллельными оси , а уравнение определяет гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси .

Дата добавления: 2014-01-11