Контур с током в магнитном поле

Пусть прямоугольная плоская проволочная рамка (контур) с током

находится в однородном магнитном поле В {0, В, 0} (рис. 5.7,а). Вер­тикальная сторона рамки равна а, горизонтальная - b. Силы Ампера, действующие на вертикальные стороны рамки, равны по величине 1аb, где I - сила тока. Эти силы образуют пару, момент которой равен

М = Fb sin a = I аbВ sin a,

где а - угол между единичным вектором п, перпендикулярным плоскости

контура, и вектором В индукции магнитного поля. Примем следующее условие. Пусть направление вектора п будет связано с направлением тока в рамке правилом правого винта. Введем вектор

p _m = I S n, (5.13)

где S - площадь рамки. В данном случае S = аb. Вектор р _т называется магнитным моментом рамки с током.

а)

б)

Рис. 5.7.

Используя формулы (5.12), (5.13) и определение вектора момента си­лы, запишем для этого вектора выражения:

(5.14)

М = [ р _т В ]

M = p_mBsina. (5.15)

Из этих формул следует, что магнитное поле стремится повернуть рамку с током в такое положение, в котором векторы р_т и В направлены в одну сторону и угол а = 0 (рис. 5.7,b).

Пусть момент инерции рамки равен J. Запишем основное уравнение вращательного движения рамки

J dw/dt = - p_т В sin а (5.16)

где w = а ¢ - угловая скорость рамки. Знак "минус" в правой части это­го уравнения означает, что силы Ампера стремятся повернуть рамку в положение устойчивого равновесия, когда а = 0. Умножим левую часть уравнения (5.16) на w, а правую - на

da /dt=w

и перенесем полученное справа выражение в левую часть

Jw dw/dt + p_т В sin а (da /dt)

Это равенство нетрудно преобразовать к виду

d/dt (Jw²/2 - p_т В cos а)=0

Отсюда получим

Jw²/2 - p_т В cos а = const

Это равенство выражает собой закон сохранения энергии. Первое слага­емое есть кинетическая энергия вращения рамки, а второе

Е_р = - p_т В cos a (5.17)

- потенциальная энергия контура с током в магнитном поле. Формулу (5.17) можно записать так:

(5.18)

Как следует из формул (5.17) и (5.18), когда рамка находится в по­ложении, в котором векторы р _т и В сонаправлены и угол а = 0, ее потенциальная энергия принимает наименьшее значение - р_тВ. Следо­вательно, это есть положение устойчивого равновесия.

Рассмотрим контур с током, который имеет возможность перемещать­ся в пространстве. Пусть каким-либо образом удается сохранять ори­ентацию контура такой, что вектор р _т всегда направлен так же, как и вектор В. Из формулы (5.17) следует, что при этом энергия контура

Е_р = -р_т В. (5.19)

Если магнитное поле неоднородно, т.е. магнитная индукция различна в разных точках пространства, то на контур будет действовать сила, стре­мящаяся переместить его в те области пространства, где энергия контура меньше. Согласно (5.19) энергия контура меньше там, где больше маг­нитная индукция. Поэтому контур будет втягиваться в область более сильного поля (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Если векторы р _т и В направлены сонаправлены, то контур с током втягивается в область сильного магнитного поля

Когда магнитный момент р _т направлен против поля, энергия контура

Е_p = р_тВ.

В этом случае контур будет выталкиваться из магнитного поля, т.е. на него будет действовать сила, которая стремится переместить контур в те области пространства, где поле слабее и поэтому энергия контура меньше (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Если векторы р _т и В направлены противоположно, то контур с током выталкивается из магнитного поля

Дата добавления: 2014-01-11