Движение заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле

Пусть в пространстве существует однородное и постоянное магнитное поле. Такое поле характеризуется в любой точке пространства одним и тем же вектором В. Построим систему координат так, чтобы ось у совпа­дала по направлению с вектором В магнитной индукции. При этом две проекции В_х и В_z вектора В будут равны нулю: В {0, В, 0}. Исследуем движение заряженной частицы в таком поле

Запишем второй закон Ньютона:

m v ¢ = q [ v В ], (5.4)

где m, q - масса и заряд частицы.

Проекции вектора [ v В ] на оси координат можно найти по известному правилу из векторной алгебры:

[]==

При помощи этого выражения запишем второй закон Ньютона в проек­циях на оси координат:

mv_x ¢ = - q В v_z, т v_y ¢ = 0, mv_z ¢ = q В v_x. (5.5)

Решив эту систему уравнений, можно найти при заданных начальных условиях зависимость от времени вектора скорости частицы: v = v(t), a затем из уравнения r ¢ = v - зависимость r = r (t), описывающую движение частицы.

Задача. Решить систему уравнений (5.5). Найти зависимость r = r (t) при произвольных начальных условиях. Показать, что траекто­рией движения заряда в магнитном поле является винтовая линия.

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца равна нулю, когда вектор скоро­сти коллинеарен вектору магнитной индукции. Поэтому вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно:

F = 0, v = const.

Направим ось у вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 5.3). В
таком случае координата у заряженной частицы будет изменяться со
временем по закону

y(t)=y₀+vt

Рис.5.3. Вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно

Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость заряда была пер­пендикулярна вектору В: v_y (0) = 0. При этом из второго уравнения системы (5.5) следует, что v_y (t) = 0, т.е. частица все время будет дви­гаться в плоскости перпендикулярной вектору В: v ^ В. Так как сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы со вре­менем не изменяется, модуль вектора скорости также постоянен. В этом случае тангенциальное ускорение а_т = v ¢ будет равно нулю, а нормальное ускорение в силу второго закона Ньютона будет

а_п =| q | vB/m

В

(5.6)

Рис. 5.4- Когда скорость за­ряженной частицы перпенди­кулярна силовым линиям одно­родного магнитного поля, она движется по окружности

Видно, что в постоянном и однород­ном магнитном поле нормальное уско­рение заряженной частицы со

време­нем не изменяется. Это означает, что частица будет двигаться по окружно­сти (рис. 5.4). Радиус

R этой окруж­ности найдем при помощи формулы для центростремительного ускорения

а_п = v²/R (5.7)

Приравняем правые части равенств (5.6) и (5.7). Получим:

R= т v/ (| q | B)

В общем случае заряженная частица в однородном магнитном поле мо­жет совершать два вида движений. Во-первых, частица может двигаться равномерно с некоторой скоростью v||_ вдоль прямой, которая является силовой линией магнитного поля. Во-вторых, частица может двигаться с постоянной скоростью v ^ _ по окружности, которая расположена в плос­кости, к которой силовые линии магнитного поля перпендикулярны. Эти два движения частица может совершать одновременно. В таком случае траекторией движения частицы будет винтовая линия (рис. 5.5). Эта линия характеризуется такими параметрами, как радиус R и шаг h, т.е. наименьшее расстояние между двумя точками на этой линии, отсчитан­ное вдоль ее оси. При этом проекции v||_ и v^ _ вектора скорости v будут связаны с его модулем и углом а между ним и вектором В соотношени­ями

v|| = v cos a, v ^ = v sin a.

Время Т, за которое частица совершает один оборот по винтовой ли­нии, называется периодом обращения. За это время, двигаясь по окруж­ности со скоростью v ^, она пройдет путь 2p R, а при движении вдоль силовой линии со скоростью v|| - путь h:

2p R = v ^ Т, h = v|| Т.

Радиус R винтовой линии связан со скоростью v± соотношением

R=m v ^/ / (| q | B)

V

Рис. 5.5. Траектория движения заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле - винтовая линия

5.3. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера

Рассмотрим прямолинейный участок проводника с током, помещенно­го в пространстве, где имеется однородное магнитное поле. Электриче­ский ток есть направленное движение заряженных частиц, называемых носителями тока. На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца.

Сумма всех сил Лоренца, которые действуют на носители тока в проводнике, может быть преобразована к виду(5.8)

(5.8)

где I - сила тока, текущего в проводнике; l - вектор, направление которо­го совпадает с направлением тока, а модуль равен длине l рассматрива­емого участка проводника (рис. 5.6). Сила F, определяемая формулой (5.8), называется силой Ампера. Согласно определению векторного про­изведения сила Ампера перпендикулярна векторам l и В, а ее модуль

F= IlВ sin a,

где а - угол между векторами l и В. Сила Ампера не приложена к какой-либо точке проводника, а распределена по его объему.

Формулы (5.8) и (5.9) справедливы только в том случае, когда прямой проводник находится в однородном магнитном поле. Чтобы найти в об­щем случае силу, которая действует на тонкий провод с током в магнит­ном поле, разделим его на небольшие участки. Каждый такой участок можно считать прямолинейным, а магнитное поле в нем - однородным.

По формуле (5.8) найдем силу Ампера dF, которая действует на один из участков провода:

(5.10)

где d l - векторный элемент участка провода. Сила, с которой магнит­ное поле действует на тонкий провод с током, равна криволинейному интегралу

Рис. 5.6. Сила Ампера

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ (продолжение)

Дата добавления: 2014-01-11