Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля

Векторная функция B = B (r), описывающая постоянное магнитное поле, удовлетворяет интегральным уравнениям (6.9) и (6.11): В = В ( r ), описывающей постоянное магнитное поле. Эти уравнения имеют вид:

= μ_o å I

=0

Получим из этих уравнений дифференциальные уравнения (6.12) и (6.13). При помощи теоремы Остроградского - Гаусса преобразуем в уравне­нии (6.9) поток вектора В через замкнутую поверхность S в интеграл по объему, заключенному внутри этой поверхности, от дивергенции маг­нитной индукции. Будем иметь

=-теорема Остроградского - Гаусса

Поскольку левая часть равна нулю, то и правая также

=0

Интеграл по произвольному объему V всегда равен нулю только в том случае, когда равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, приходим к уравнению (6.12)

div B = 0.

Преобразуем циркуляцию вектора В в уравнении (6.11) при помощи теоремы Стокса в поверхностный интеграл от ротора магнитной индукции по той же натянутой на контур С поверхности S, по которой инте­грируется плотность тока в правой части этого уравнения:

= - теорема Стокса

= μ_o

Два интеграла по произвольной поверхности S равны друг другу тогда и только тогда, когда равны подынтегральные выражения. Таким обра­зом, получим уравнение (6.13)

rot В = μ_o j.

Задача 1. По объему бесконечно длинного цилиндра радиуса R вдоль его оси идет электрический ток постоянной плотности j. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого этим током.

Задача 2. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по объему с плотностью заряда д. Цилиндр вращается вокруг своей оси

с угловой скоростью w. Найти вектор магнитной индукции В = В(r).

Дата добавления: 2014-01-11