Затухающие электромагнитные колебания

Соединительные провода и проволока, из которой изготовлена катуш­ка индуктивности, обладают некоторым сопротивлением R. Схема ре­ального колебательного контура, учитывающая это сопротивление, по­казана на рис. 9.2. Правило Кирхгофа в этом случае Приводит к равен­ству

U + U_R = e_L, (9.20)

где по закону Ома падение напряжения на сопротивлении

U_r = RI.

При помощи формул (9.3), (9.4) и (9.21) преобразуем равенство (9.20) к виду

Q/C + RI = -LdI/dt (9 22)

Рис. 9.2.Колебательный контур

Подстановка в это равенство выражений (9.7) и (9.8) приводит к дифференциальному уравнению

(9.23)

, . (9.24)

Нетрудно доказать, что функция

U(t) = U_ое^-βtcos(ωt+a) (9.25)

при произвольных значениях U_o и а является решением уравнения (9.23), если частота

ω = √ω₀² – β²

где ω₀ > β. Эта функция описывает так называемые затухающие коле­бания напряжения на конденсаторе. Ее график изображен на рис. 9.3.

(9.21)

Рис. 9.3. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе

U_m(t) = U_ое^-βt (9.27)

называется амплитудой затухающих колебаний. При U_o > 0 это есть монотонно убывающая функция, которая при t →∞ обращается в ноль. Поэтому величину β называют коэффициентом затухания. Уменьше­ние амплитуды U_m(t) с течением времени принято характеризовать еще одной величиной

λ = ln U_m(t)/U_m(t+T) (9.28)

которую называют логарифмическим декрементом затухания. В этой формуле под знаком логарифма стоит отношение амплитуды колебаний в момент времени t к амплитуде колебаний в момент времени t + T, где

T =2p/ω

- период колебаний. Подставив функцию (9.27) в формулу (9.28),полу­чим

λ = βT

Величина

τ =1/β

имеет размерность времени. Найдем отношение двух значений функции (9.27), одно из которых соответствует произвольному моменту времени t, а другое - моменту времени t + τ:

U_m(t)/U_m(t+T) =1/e

Таким образом, за время τ амплитуда напряжения на конденсаторе уменьшается в е раз. Величина

τ/T =1/ λ

- число колебаний, совершаемых за время τ. Это соотношение раскры­вает физический смысл логарифмического декремента

В качестве характеристики колебательного контура используют также величину

Q=p/λ

которую называют добротностью контура. Используя полученные ра­нее формулы, можно записать следующие выражения для добротности:

Q=p τ/T = p/βT =ω/2β = √ω₀² – β²/2β (9.30)

Если коэффициент затухания мал (β <<ω ₀), то

Q = ω₀/2β =(1/R)√L/C (9.31)

Формула (9.26) имеет смысл только в том случае, когда коэффициент затухания β меньше собственной частоты ω₀ колебаний:

β < ω ₀. (9.32)

Только при этом условии в контуре возможны колебания. Преобразу­ем неравенство (9.32) при помощи формул (9.24). После элементарных операций придем к неравенству

R<R_cr

R_cr = 2 √L/C

называется критическим сопротивлением. Таким образом, приходим к заключению, что колебания в контуре возможны, когда его сопротивле­ние R меньше критического.

Умножим уравнение (9.22) на I и преобразуем полученное равенство

так:

Это уравнение можно записать следующим образом:

dW = -Pdt,

W = (9.36)

- полная энергия контура,

P = RI²

- мощность джоулева энерговыделения, т.е. количество тепла, которое выделяется в проводнике при прохождении

по ним электрического тока. Таким образом, приходим к заключению, что энергия контура уменьшается со временем (dW < 0). За время dt энергия W электрического и магнитного полей уменьшается на величину |dW|, которая равна теплу Рdt, выделяющемуся за это время в сопро­тивлении.

Задача 1. Найти зависимость силы тока I в контуре от времени.

Задача 2. Установить, как изменяется с течением времени полная энергия W, запасенная в контуре.

Дата добавления: 2014-01-11