Переменный ток. Метод комплексных амплитуд

В практической электротехнике приходится иметь дело с электриче­скими цепями, состоящими из проводников, конденсаторов и катушек ин­дуктивности, по которым текут переменные токи, обусловленные вклю­ченными в эти цепи генераторами переменных напряжений одной и той же частоты. Для расчета таких цепей, т.е. для определения переменных токов на различных участках цепи, в электротехнике применяют метод комплексных амплитуд.

В электротехнике мнимую единицу, т.е. √-1принято обозначать символом j

j² = -l. (9.67)

Комплексное число z есть сумма вида

z = х + j y.

в которой действительное число х называют реальной, или вещественной частью комплексного числа z, а действительное число у - мнимой частью числа z:

х= Re z, у = Im z.

Комплексному числу z можно дать следующую геометрическую ин­терпретацию. Числа х и у рассматривают как декартовы координаты точки на плоскости ху (рис. 9.10). При этом комплексное число (9.68) соответствует точке, имеющей координаты х и у. Поэтому говорят, что точка на плоскости изображает некоторое комплексное число. Напри­мер, мнимая единица изображается точкой с координатами х = 0 и у = 1, которая лежит на оси у. При х = 0 комплексное число z = j у называют чисто мнимым.

Рис. 9.10.Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = х + j у можно также представить вектором на плоскости, который соединяет начало координат с точкой (x, у). Длину r этого вектора называют модулем комплексного числа z и обозначают \z\. Угол φ, который вектор z образует с осью х, называют аргумен­том комплексного числа. Декартовы координаты точки на плоскости связаны с r и φ соотношениями

х = r cosφ, у =r sin φ, (9.69)

при помощи которых формулу (9.68) можно записать в виде

z = r (cos φ+ j sin φ). (9.70)

Это выражение называют тригонометрической формой комплексного чи­сла. Очевидно, что

|z| = √(x² + y²) tgφ= y/x (9.71)

Показательная функция е^jφ мнимого аргумента jφ определяется фор­мулой Эйлера:

e^jφ= cos φ +j sin φ. (9.72)

Это определение позволяет записать комплексное число (9.70) в так на­зываемой показательной форме:

z = re^jφ. (9.73)

Мнимая единица на плоскости ху изображается вектором, длина ко­торого равна единице: |j| = 1, а аргумент φ = p/2. Согласно формуле (9.73) мнимая единица

j = е^jp/2. (9.74)

Комплексное число

Z^* = х - j у (9.75)

называется комплексно сопряженным числу z = х + j у. Нетрудно дока­зать, что

(9.76)

z*z= |z|

Квазистационарные токи в электрических цепях можно найти при по­мощи правил Кирхгофа (4.25) и (4.26):

åI_k =0 å U_k = å e_k

Когда цепь состоит из проводников, конденсаторов и катушек индуктивности, уравнения (9.77) будут представлять собой линейные диффе­ренциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются токи, заряды на конденсаторах и напряжения. Примером дифференци­ального уравнения, которое может быть получено из правил Кирхгофа, является уравнение (9.52). Общее решение системы линейных уравне­ний (9.77) равно сумме двух функций. Первая функция является общим решением однородных уравнений. Эта функция описывает собственные колебания, которые в реальных случаях всегда затухают с течением вре­мени. Вторая функция является частным решением неоднородных урав­нений (9.77), которые содержат в своих правых частях ЭДС генераторов, включенных в рассматриваемую электрическую цепь. Именно это част­ное решение уравнений Кирхгофа представляет практический интерес в электротехнике. Так как на практике важно знать переменные токи, которые протекают в электрических цепях, подключенных к продолжи­тельное время работающим генераторам переменного напряжения.

Для решения этой задачи в электротехнике реальные зависимости токов и напряжений от времени заменяют комплексными величинами. Пусть, например, на некотором участке цепи протекает переменный ток, т.е. ток, сила которого изменяется со временем по закону

I(t) = I_m cos(wt + φ_I)

где I_m - амплитуда тока; w - частота; φ_I - начальная фаза колебаний тока. Рассмотрим комплексную функцию

I_*(t) = I_m e ^{j cos(wt + φ}_I⁾ (9.79)

Очевидно, что функция I(t) является реальной частью функции I_*(t):

I(t) = Re I_*(t) (9-80)

■

Пусть на рассматриваемом участке цепи имеется переменное напряжение

U(t) = U_m cos(wt + φ_U) (9.81)

где U_m - амплитуда напряжения; φ_U - начальная фаза колебаний напряжения.

Комплексная функция

U_*(t) = U_m e ^{j cos(wt + φ}_U⁾

Связана с напряжением соотношением

U(t) =ReU_*(t)

Аналогично вырабатываемую генератором переменную ЭДС

e(t) = e_m cos(ut + φ _e), (9.84)

где e_т - амплитуда ЭДС; φ _e - начальная фаза, можно представить как реальную часть комплексной функции

e_* (t) = e_m e^{j(wt + φ} _e⁾ (9.85)

e(t) = Ree_* (t) (9.86)

Функции I _* (t), U_* (t) и e_* (t) содержат в себе множитель е^jwt. Значения I_* (0), U_* (0) и e_* (0) этих функций называют комплексными амплитудами.

Ввиду линейности уравнений (9.77) для комплексных функций I _*k (t), U_*k (t) и e_*k (t) справедливы такие же уравнения

åI _*k (t) =0, åU_*k (t) = å e_*k (t)

Нетрудно видеть, что применение к этим уравнениям операции Re пре­образует их в уравнения. Преимущество уравнений (9.87) заключается в простоте их решения.

Пусть участок цепи представляет собой проводник с сопротивлением R. Сила тока

I_R(t) = I_m cos(wt + φ_I)

U_R(t) = U_m cos(wt + φ_U)

на этом участке подчиняются закону Ома:

U_R = RI_r, (9.88)

т.е.

U_m cos(wt + φ_U) = R I_m cos(wt + φ_I)

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения и тока связаны

Соотношением

U_m = R I_m

а начальные фазы этих функций равны:

φ_U = φ_I

B таком случае говорят, что колебания напряжения и силы тока совпа­дают по фазе.

Соотношению (9.88) соответствует соотношение

U_*R = I _*R,

связывающее комплексные амплитуды. Пусть

I_L(t) = I_m cos(wt + φ_I)

есть сила тока, протекающего по катушке индуктивности L, а

U_L(t) = U_m cos(wt + φ_U)

- напряжение на концах этой катушки. Сопротивление катушки будем считать равным нулю. Напряжение Ul на катушке равно с обратным знаком ЭДС индукции e_L, которая возникает при изменении силы тока в ней:

U_l = e_L,

По закону Фарадея

U_l = -LdI_L/dt

Этому равенству можно придать вид

U_m cos(wt + φ_U) = - wLI_m sin(wt + φ_I)

U_m cos(wt + φ_U) = wLI_m cos(wt + φ_I +p/2) (9.90)

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения на катушке ин­дуктивности и силы тока в ней связаны соотношением

U_m = w L I_т,

а начальные фазы этих функций таковы, что

φ_U = φ_I +p/2

С учетом формулы (9.74) соотношению (9.90) можно придать вид

U_*L = jwL I _*L. (9.91)

Смысл этого равенства заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (9.90). Равенство (9.91) по виду напоминает закон Ома и его принято записывать следующим образом:

U_*L = Z_L I _*L.

где чисто мнимая величина

Z_L =jwL

называется комплексным сопротивлением катушки индуктивности, а ве­личина

X_L=wL

- индуктивным сопротивлением. Пусть

I_C(t) = I_m cos(wt + φ_I)

есть сила тока, притекающего к обкладкам конденсатора, а

U_C(t) = U_m cos(wt + φ_U)

- напряжение на них. Сила тока равна производной по времени от заряду Q на конденсаторе:

I_C(t) = dQ/dt

а напряжение Uc прямо пропорционально заряду Q:

U_C(t) =Q/C

Исключив из этих равенств заряд, придем к равенству

U_C(t) =1/C ò I_C(t)dt

Для переменных напряжения и тока это равенство можно записать так:

U_m cos(wt + φ_U) = (I_m / (wC))sin(wt + φ_I)

Или

U_m cos(wt + φ_U) = (I_m / (wC))cos(wt + φ_I -p/2) (9.94)

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения на конденсаторе и силы тока связаны соотношением

U_m =I_m / (wC)

а начальные фазы функций таковы, что

φ_U = φ_I -p/2

C учетoм, формулы (9.74) соотношению (9.94) можно придать вид,

U_*С = (1/(jwC))I _*С.

Смысл этого равенства заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (9.94). Равенство (9.95) принято записывать так:

U_*C = Z_C I _*C.,

где чисто мнимая величина

Z_C= 1/(jwC)

называется комплексным сопротивлением конденсатора, а величина

X_C = 1/wC

- емкостным сопротивлением.,

Согласно формулам (9.89), (9.92) и (9.96) комплексные амплитуды напряжений и токов на проводнике, катушке индуктивности и конденсаторе подчиняются закону Ома, который теперь принимает вид,

U_* =Z I _*,

где Z - комплексное сопротивление участка цепи, или его импеданс.

Z₁ Z₂

Рис. 9.11. Последовательноесоединение элементов цепи

участок цепи, состоящий из двух соединенных последова­тельно элементов, комплексные сопротивления которых равны Z₁ и Z₂ (рис. 9.11). В силу (9.98)

U_*1 =Z₁ I _*1, U_*2 =Z₂ I _*2

Напряжение на этом участке цепи равно сумме напряжений на его эле­ментах:

U_* = U_*1 + U_*2,

и через эти элементы протекает один и тот же ток:

I _*1 = I _*2

Полученные равенства приводят к формуле (9.98), в которой

Z =Z₁ + Z₂

Z₁

Z₂

Pис.9.12. Параллельное соединение элементов цепи

Рассмотрим участок цепи, состоящий из двух параллельно соединен­ных элементов, комплексные сопротивления которых равны Z₁ и Z₂ (рис. 9.12). В силу (9.98) можно записать

I _*1 = U_*1 / Z₁ I _*2 = U_*2 / Z₂

Ток, втекающий на этот участок, разветвляется и равен сумме токов в его элементах:

I _*1 = I _*1 + I _*2

а напряжение на каждом из этих элементов равно напряжению на всем участке:

U _* = U_*1 = U_*2

Полученные равенства приводят к формуле

I _* = U_*/ Z

Где

1/ Z = 1 / Z₁ + 1 / Z₂ (9.100)

Формулы (9.99) и (9.100) дают возможность находить комплексные со­противления участков цепи, состоящих из нескольких элементов. В общем случае комплексное сопротивление участка цепи имеет вид

Z = R + jX, (9.101)

где действительная часть R называется активным сопротивлением участ­ка, а мнимая часть X - его реактивным сопротивлением. Комплексное число Z удобно представить в показательной форме

Z =|Z|e^jy,

Где

|Z| =√(R² +X²)

а его аргумент y таков, что

tgy =X/R.

Предположим, что для некоторого участка цепи известно его ком­плексное сопротивление. В таком случае из соотношения (9.98) можно установить как связаны амплитуды напряжения и тока на этом участке и их начальные фазы. Для этого подставим в соотношение (9.98) выра­жения (9.79), (9.62) и (9.102). Получим

U_m e ^{j (wt + φ}_U⁾ = |Z|e^jyI_m e ^{j (wt + φ}_I⁾

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения и силы тока связаны соотношением

U_m = |Z|I_m , (9.105)

а начальные фазы таковы, что

φ_U = φ_I + y

В качестве примера расчета цепи методом комплексных амплитуд най­дем комплексное сопротивление участка цепи в схеме, изображенной на рис. 9.13.

Рис. 9.13. Электрическая цепь переменного тока

На этой схеме проводник сопротивлением R и катушка индуктивности L соединены последовательно. Параллельно этому участку присоединен конденсатор емкости С, на который подается переменное напряжение. По формулам (9.99) и (9.100) найдем комплексное сопротивление цепи Z:

1/ Z = 1 / Z_C + 1 / (R + Z_L)

_

С учетам формул (9.93) и (9.97) будем иметь

1/ Z = jwC + 1 / (R + jwL)

После несложных преобразований получим

Z = (R + jwL) /(1- w²LC+ jwRC)

(1- w²LC- jwRC)

Z = (R + jw(L(1- w²LC)+ R² C))/((1- w²LC)²+(jwRC)²)

Из полученных формул найдем модуль и аргумент комплексного сопро­тивления:

|Z| = √ ((R² +-(wL)²)/((+(jwRC)²)/ ((1- w²LC)²+(jwRC)²)

tgy = (wL (1- w²LC)²- wR²C) /R.

Теперь при помощи равенств (9.105) и (9.106) можно найти соотношения, связывающие амплитуды и начальные фазы колебаний напряжения и тока.

В схеме на рис. 9.7 проводник сопротивлением R, конденсатор С и катушка индуктивности L соединены последовательно. Поэтому ком­плексное сопротивление этой цепи равно

Z = R + 1 / jwC +jwL

Модуль этого комплексного числа будет

|Z|= √ ((1- w²LC)²- (wRC)²) /(wC)

Пусть ЭДС генератора, подключенного к этой цепи, зависит от времени как

e(t) = e_m cos w t.

Тогда согласно формуле (9.105) амплитуда силы тока будет

I_m = e_m/|Z| = wCe_m/√ ((1- w²LC)²- (wRC)²)

Нетрудно убедиться в том, что эта формула совпадает с формулой (9.62) с тем только отличием, что частота колебаний ЭДС здесь обозначена как w.

Дата добавления: 2014-01-11