Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных радиотехнических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.

Суть метода заключается в следующем:

1) Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.

2) Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:

- импедансы трактуются как обычные сопротивления;

- комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения.

Таким образом, мы избавились от реактивности элементов и зависимости от времени сигналов. Эти факторы, затрудняющие математические операции при описании схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.

Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.

Данный метод применяется для расчёта разветвлённых цепей переменного тока, содержащих реактивные сопротивления (конденсаторы и индуктивности). Сопротивления

этих элементов записываются через комплексные числа.

Сопротивление конденсатора будет равно: Z_c=j/ωC,

сопротивление индуктивности: Z_L=jωL,

где j – мнимая единица вместо i, так как через i обозначается ток,

ω – циклическая частота, которая равна 2πν,

C и L – соответственно ёмкость и индуктивность.

Источник напряжения с учётом фазы обозначается как Ue^jφ, где U – действующее напряжение, φ – фаза данного источника.

Если дан источник тока с определённой фазой, то из этой фазы вычитается π/2, чтобы получить фазу данного источника по косинусу, а затем через получившуюся фазу по косинусу данный источник записывается аналогично источнику напряжения: Ie^jφ.

Если последовательно резистору включён конденсатор, то их общее сопротивление записывается, как R-jZ_c, если индуктивность, то общее сопротивление равно R+jZ_L.

Затем в цепи условно выбираются направления токов, у источников напряжения и тока условно выбираются + и -, и составляются уравнения для расчёта данной цепи лучше всего по правилам Кирхгофа (первое правило Кирхгофа: сумма токов во всех ветвях, сходящихся в данном узле равна нулю; в торое правило Кирхгофа: сумма падений напряжений на всех сопротивлениях равна сумме всех ЭДС в данном контуре) или по методу узловых потенциалов:

1) Закон Ома для участка цепи содержащего ЭДС:

φ1φ2

φ1 – узел, от которого течёт ток;

φ2 – узел, к которому течёт ток;

V1 – источник, включённый по направлению тока;

V2 – источник, включённый противоположно направлению тока;

R1 – сопротивление ветви.

2) Закон сохранения заряд:

Далее решая эту систему, получим комплексные значения токов в ветвях. Чтобы получить значения токов, которые будут показывать амперметры, нужно просто взять модули этих комплексных токов.

Пример:

Рассчитаем методом комплексных амплитуд с помощью правил Кирхгофа данную цепь.

Дата добавления: 2014-01-11