Вектор-потенциал

Материал, изложенный в нижеследующем параграфе, обычно не принято помещать в курс общей физики. Нам, однако, представляется, что экономия в объеме и сложности ряда последующих вычислительных процедур оказывается столь значительной, что правдывает такое начинание. (То же самое можно сказать и об операциях векторного дифференцирования. Они позволяют представить уравнения поля в чрезвычайно компактной и наглядной форме, существенно упрощают многие доказательства и выводы, и потому, на наш взгляд, стоит как можно раньше преодолеть некоторые трудности, связанные с освоением этого аппарата.)

Мы уже могли оценить, сколь конструктивным оказалось в электростатике понятие электрического потенциала. Определение его было дано в формулах (1.16), (1.17), а основное уравнение, которому потенциал подчиняется как функция точки, — (1.19). Правда, определение давалось для системы дискретных точечных зарядов, а уравнение соответствует описанию зарядового распределения непрерывной функцией р(г). Но все проблемы снимаются простым обобщением определения (1.16), (1.17):

V = —[^dV. (4.14)

4тг?0 J г

Теперь попробуем подобным же образом ввести функцию, порождающую магнитное поле. Только, в отличие от электростатики, источником будет не скаляр р, а вектор j. Рассмотрим некоторую проводящую среду с распределением плотности тока j (г). Введем вектор А с компонентами

(4.15)

Сравнивая (4.14), (4.15) и выражение для электрического потенциала (1.19), нетрудно убедиться, что компоненты вектора А должны удовлетворять уравнению Пуассона:

/ о9 о9 о9 \ 2 Л — (\ А \ ox1 oyz ozz J

(где к = х, у, z), что обычно принято записывать в виде

V2A = -j. (7.16)

Векторная величина А и называется вектор-потенциалом. Но это название

имеет смысл лишь в том случае, если эта функция и в самом деле порождает

вектор магнитного поля. Чтобы в этом убедиться, вычислим прежде всего

дивергенцию вектор-потенциала:

divA = — /"div (^) dV = — / f ^) dS.

4тгУ Vr/ 4nJs\rJ

Мы преобразовали последний интеграл по теореме Гаусса. Поскольку объемное интегрирование предполагается по всей проводящей среде, где j /= 0, постольку поверхностный интеграл должен браться по поверхности всех проводников, где, однако, j|_ = 0, а потому равен нулю и весь интеграл. Таким образом,

divA = 0.

Но тогда имеет место следующее соотношение (см. предыдущий параграф):

rot rot A = VdivA - V² А = - V²А,

так что мы можем заменить левую часть в уравнении Пуассона (4.16) для

вектор-потенциала:

rot (rot A) = j.

Сравнивая этот результат с дифференциальной формой теоремы о циркуляции (4.12), получаем окончательный ответ:

Н = rotA. (4.17)

Мы имеем возможность еще раз убедиться в различной векторной природе электрического и магнитного полей. Если статическое электрическое поле представимо как градиент некоторой скалярной функции (такие поля называют потенциальными), то магнитное поле в вакууме есть ротор некоторой векторной функции. Поля такого рода принято называть соленоидальными.

Скалярный электрический потенциал определен, как и потенциальная энергия, с точностью до константы. Произвол в определении вектор-потенциала больше: поскольку ротор градиента любой скалярной функции тождественно равен нулю, то и величина А определена с точностью до ▼ψ,

где ψ(r) — произвольная скалярная функция. Наблюдаемой же (измеряемой) величиной остается поле Н, т. е. ротор вектор-потенциала. Мы не будем, однако, углубляться в этот вопрос, потому что данное выше определение (7.15)—(7.17) вполне корректно и для целей нашего курса достаточно.

Дата добавления: 2014-01-11