Магнитный диполь. Понятие о магнитном моменте

На первый взгляд, из закона Био и Савара (4.3) следует спадание магнитного поля на бесконечности, аналогичное закону Кулона (~ r^-2). Для некоторых вырожденных ситуаций мы и в самом деле можем в случае электро- и магнитостатики получить ответы, функционально тождественные. Так, электрическое поле однородно заряженного длинного провода и магнитное поле длинного провода с током, хотя и различаются геометрией, зависят от радиуса по одному закону (~1/r). Но в общем случае между ними существует принципиальное различие. Если уединенный заряд любого знака имеет

право на существование, то элемент тока не может существовать сам по себе, ибо любой стационарный ток должен быть замкнут. Потому и мультипольность магнитного поля не может быть ниже дипольного приближения:

Н < const • r^-3 при г —> оо.

(Конечно, на достаточно больших, например галактических, масштабах этим

качеством обладает и электрическое поле, но это уже следствие нейтральности Вселенной, а не собственно электродинамики.)

Таким образом, элементарным объектом в физике магнитных полей оказывается диполь, и именно дипольным по геометрии и функциональной зависимости будет поле произвольной системы токов на больших расстояниях.

По природе и по геометрии силовых линий электрический и магнитный диполи различаются — см. рис. 4.4 а. Поэтому перенос результатов гл. 1 на этот случай невозможен и вывод основных соотношений должен быть проведен заново. И уже здесь весьма полезным для нас окажется материал предыдущего параграфа, т. е. описание магнитного поля посредством вектор-потенциала.

Рис. 4.4

Рассмотрим квази-стационарную токовую систему.

Можно в принципе смотреть на нее как на квазинейтральную систему зарядов, совершающих замкнутое финитное движение (поскольку квазистационарные токи должны быть замкнуты). Обратимся к формуле (4.15) и проведем следующую

цепочку замен в подынтегральном выражении:

j dV = n e v dV = dq<v>_t.

Мы выбрали элемент dV столь малым, чтобы в него попали заряды только одного сорта и чтобы усреднения по объему не требовалось. В то же время усреднение по времени

необходимо, ввиду дискретности носителей заряда (в сущности, само понятие постоянного либо квазистационарного тока неявно подразумевает такое усреднение). Следуя логике этой замены, мы можем интегрирование в (4.15) заменить суммированием по дискретным зарядам, что в данном случае будет удобнее,

^ л л

а затем, в соответствии с рис. 4.4 б', представим R _а в виде векторной суммы

R _а = R -r_а, где все r_a << R. Тогда

4тг qa{Vg) |R-r0 1 1 E

Первый член этой разности есть не что иное, как усредненная по времени временная производная полного дипольного момента системы,

Неважно, чему он равен и по какому закону меняется. Важно, что система совершает финитное движение и любая величина, характеризующая ее состояние, изменяется в конечных пределах, а поэтому при усреднении по достаточно большому промежутку времени At ее производная стремится к нулю. Пусть F — такая величина, а τ— характерное время эволюции системы. Тогда

(cLF/dt) ^ (г/At) (cLF/d?) 0 при At > т.

Нам еще не один раз придется воспользоваться этим результатом. Обратимся ко второму члену разности, принимая во внимание, что V (1/R) = - R /R³:

А - а

в котором сделаем тождественное преобразование

(va(raR)} = <(d/d<){ra(ra R)} - ra(va

Первый член в правой части — снова полная производная, дающая нуль при усреднении, поэтому, говоря о средних по времени значениях, можно приравнять левую часть второму члену в правой. Сделаем это в выражении (4.19),

введя, соответственно, коэффициент 1/2:

А 5>((R) (R))

Если определить вектор магнитного момента системы как

а

то вектор-потенциал магнитного поля системы на больших, в сравнении с ее размерами, расстояниях, имеет вид

А = [mR]/D7ri?3). (4.22)

Эквивалентная форма:

А = -A/4тг) [m, V(l/R)}. (4.23)

Итак, мы видим, что в теории магнитных полей дипольное приближение базируется на понятии вектор-потенциала — полезно сравнить выражения (1.24) и (4.22). Мы ввели понятие магнитного диполя и теперь можем для удобства считать его «точечным». В этом случае, т. е. при вычислении поля на расстояниях, существенно больших пространственного масштаба токовой конфигурации, последняя характеризуется единственным векторным параметром т. Для вычисления поля воспользуемся формулой (4.23). Предварительно проведем операцию векторного дифференцирования в общем виде.

Пусть а — некоторый постоянный вектор, тогда

rot [а, Ь(г)] = [V [а, Ь(г)]] = a(Vb) - (a V)b.

В нашем случае b = ▼(l/R), поэтому (▼b) = ▼²(l/R) = 0, потому что это

уравнение Пуассона для потенциала точечного заряда при R /= 0 (впрочем,

это можно проверить и прямым вычислением). Таким образом,

Используя также цепочку преобразований

(mV)R= (тх д/дх +...)(ехх +...) = т,

получаем окончательный ответ:

Этот результат оказался идентичным формуле (1.25), в особенности если мы, имея в виду уже отмеченную перекрестную аналогию, перепишем последнюю для электрической индукции, т. е. просто умножим на ε₀. Для справки отметим, что мы ввели т. н. амперовский магнитный момент; иногда вместо него используют кулоновский магнитный момент, отличающийся коэффициентом μ₀/4π.

В отличие от электрического диполя, простейший магнитный диполь представляет собой тонкий замкнутый виток с током (рис. 4.4 а). Для вычисления его дипольного момента построим цепочку, обратную той, которую мы использовали при выводе формулы (4.18):

dgv = new dV = j dV = jS± dl = Idl,

где S_|_ — поперечное сечение провода, I — ток, протекающий через виток.

Теперь сумму в (4.21) можно заменить интегралом по длине контура:

m = \<f[r,Idl].

Воспользуемся известным свойством векторного произведения: модуль | [a b] |

равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах а и b как

на сторонах. Таким образом, | [г, dl] | =2 d*S, где S — площадь контура витка,

и окончательно:

m = ISn. (4.25)

Здесь n — единичный вектор нормали к плоскости витка, ориентированный

согласно правилу буравчика по отношению к направлению тока, или, что то же: с конца его ток в контуре должен выглядеть протекающим против часовой стрелки. Если мы имеем дело с катушкой из N витков, ее магнитный момент равен NIS; подразумевается, что расстояние, на котором определяется поле катушки, или масштаб изменения внешнего поля существенно превышают любой ее размер. Если же магнитный диполь — иной природы, например, постоянный магнит, то его очень часто удобно представить в виде витка или трубки с азимутальным током. Этот фиктивный ток называют током намагничения. В качестве источника поля он ведет себя так же, как и реальный ток, не следует только подставлять его в теорему о циркуляции, а тем более в закон Джоуля-Ленца.

Вернемся к дискретному представлению магнитного момента (4.21). Предположим, что диполь формируется циклическим движением одной частицы, либо ансамблем одинаковых частиц, либо, наконец, ансамблем различных частиц, но имеющих одинаковое отношение заряда к массе, которое мы обозначим как е/m. Опуская, ради простоты записи, индексы и операцию усреднения, имеем

2^У[ J 2m^h J 2m^L PJ

Поскольку [ rр ] есть момент импульса частицы, наша формула связывает

магнитный момент и момент импульса системы:

m = (e/2m)L. D.26)

Величина e/2m) называется гиромагнитным отношением. Соотношение (4.26) оказывается настолько универсальным, что работает даже в квантовой механике — именно этим коэффициентом оказываются связаны

механический и магнитный моменты электронных орбит в атоме. И только при переходе к элементарным частицам появляется необходимость в его модификации.

ГЛАВА 5

Дата добавления: 2014-01-11